31 de mayo de 2013

¿0 = 1/2?

Seguramente muchos conozcáis este maravilloso teorema matemático, pero lo reencontré el otro día gracias a Marta Macho-Stadler y no me resisto a traéroslo aquí:


Sabéis que la suma de infinitos términos no es necesariamente igual a infinito. P.ej.,

(1/2) + (1/4) + (1/8) + …. + …. (1/2n) + ….

es igual a 1 (pues es lo que tenemos si cortamos una unidad por la mitad, una de esas dos mitados por la mitad, uno de los dos cuartos resultantes por la mitad, uno de esos dos octavos por la mitad, etc., etc.).

Pues bien, ¿cuánto será la suma siguiente?

A = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 …..

Hagamos una pequeña operación: separemos esta suma de infinitos términos en dos bloques; el primer bloque es sencillamente el primer 1, y el segundo bloque todo lo demás; de este modo, tenemos que lo anterior puede expresarse como

A = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1….)

Fijaos en que, a causa del paréntesis, el segundo uno está sumando, el tercero restando, el cuarto sumando, etc., al revés que en la expresión original. Pero resulta que lo que hay dentro del paréntesis es exactamente la expresión original. Es decir, lo que hay dentro del paréntesis es igual a A.

Por lo tanto:

A = 1 – A

Es decir

2A = 1

Y de este modo

A = ½

O sea:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 ….. =1/2

Fijaos en que A puede expresarse también de otros modos, p.ej., poniendo todas las veces que ocurre +1 en una expresión, y todas las veces que ocurre – 1 en otra:

A = (1 + 1 + 1 + 1…) – 1 – 1 – 1 – 1 …

O sea:

A = (1 + 1 + 1 + 1 + 1….) – (1 + 1 + 1 +1 + 1…)
Y llamando B a lo que hay en cada paréntesis:

A = B – B  = 0 ¹ 1/2 = A


Fascinante, ¿verdad? En realidad no hay ninguna contradicción, porque uno de los pasos que he dado está mal. Je, je.

14 comentarios:

  1. Es más que eso. No es que en uno de los dos casos hayas dado un paso mal, es que no has definido cuáles son los pasos legítimos. La operación suma tal como la conocemos es una operación binaria (entre dos elementos) con sus propiedades (operación cerrada, elemento neutro, simétrico, conmutativa, asociativa, distributiva respecto de la multiplicación,...). Gracias a esas propiedades podemos extenderla a finitos sumandos, pero no a infinitos.

    La "suma infinita" debe definirse como otra operación distinta y ocurre que las maneras coherentes de definirla no tienen las mismas propiedades que la "suma normal". En la primera "demostración" de A=1/2 has usado una propiedad de una definición coherente. En la de A=0 o bien has usado una propiedad de otra definición coherente o bien no es una propiedad de ninguna de ellas.

    Aquí se puede ver algo de esto:

    http://es.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_2_%2B_3_%E2%88%92_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7

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  2. Supongo que el paso al que te refieres es reordenar los términos de la serie a sumar, que no está permitido porque, según cómo reordenes, te puede salir 0, 1, o cualquier número entero.

    Es divertido dejar a la gente perpleja con la serie de Grandi. La moraleja es que en matemáticas hay que tener mucho cuidado con las definiciones de los objetos y las operaciones, porque si definimos de forma insuficiente (o excesiva) obtenemos resultados absurdos.

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  3. Epicúreo, José Luis
    No es que en uno de los dos casos hayas dado un paso mal, es que no has definido cuáles son los pasos legítimos
    ¿Qué diferencia hay entre las dos cosas? En los dos casos se usan sumas infinitas, y de hecho en los dos casos ¡las he usado mal!, aunque uno de los resultados es correcto y el otro no.

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    1. La diferencia es enorme. Sin definir la suma infinita, cualquier cosa que hagas manipulando términos carece de sentido, no está ni bien ni mal. Una vez que la definas o, por lo menos, des algunas propiedades, podrás decir si algunas manipulaciones son o no legítimas de acuerdo a esa definición o propiedades.

      Si estás diciendo que, por no haber definido la suma infinita, en los dos casos has hecho mal los pasos, pues vale, pero es más riguroso decir que no tienen sentido. Es más, lo de que en un caso el resultado sea correcto y en el otro no es algo de lo que tampoco puedes hablar sin haber definido, de nuevo, la suma infinita o las propiedades que de ella aceptas.

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    2. "aunque uno de los resultados es correcto y el otro no"

      ¡Qué barbaridad!

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  4. Epicuro,

    .porque si definimos de forma insuficiente (o excesiva) obtenemos resultados absurdos.

    Bien, esta pretensión la veo imposible aunque necesaria, obviamente. Por muy bien que creas delimitar los objetos matemáticos y su significado resulta que siempre hay "exceso". Y creo que no se ha cuestionado "el exceso o saturación" de lo definido matemáticamente a pesar de su aparente absoluta rigurosidad. Muy particularmente hay exceso, me parece a mi, porque al definir el objeto matemático en un ámbito matemático no se ha puesto en relación con otros ámbitos diferentes. En su definición no está jamás puesto en respectividad con todo el "ámbito comunicativo " que el objeto puede dar de si y adquirir en respectividad a otros objetos matemáticos, y ahí, también a mi parecer, está la base históricista (innegable) de su configuración.

    Saludos,

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  5. Enric
    exacto; las definiciones matemáticas siempre son provisionales, un estadio en el juego inacabable de conjeturas y refutaciones. El libro de Lakatos "Pruebas y refutaciones" lo explica fenomenal.

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  6. Jesus Zamora,

    El inofensivo reordenamiento de términos solo es permitido en series absolutamente convergentes, lo cual no es el caso para la serie de Grandi.
    En las discusiones del siglo XIX sobre esta serie faltaba algo que en la "serie misma" no se sabía, ya que se definia como has hecho tú en la entrada, sin saber que relación había sobre el reordenamiento que es posible hacer en una serie y la necesidad de que convergencia absoluta. En fin...(no me parece el lugar para hacer matemáticas).

    Las definiciones matemáticas no son provisionales. A mi lo que me fascina es el hecho de "dan de si" al hacerse respectivas unas con otras, y eso creo que no es lo mismo que ser provisionales, es un modo de ampliarse constructivamente. Estoy de acuerdo con Lakatos solo en parte en ese sentido, cuyo libro que mencionas obviamente conozco (¡es un clásico de obligada lectura y análisis!).
    En fin... me voy a misa.

    Saludos,

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  7. Enric
    no tengo muy claro lo que son las definiciones ni lo que son los conceptos; mi concepto y definición de "concepto" y/o de "definición" también son provisionales, bastones de ciego. Y lo mismo en las matemáticas: se propone una definición, y siglos después se descubre que aceptar esa definición conduce a contradicciones, de modo que se plantea otra definición; o donde pone "definición" pongamos "concepto".

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  8. .Y lo mismo en las matemáticas: se propone una definición, y siglos después se descubre que aceptar esa definición conduce a contradicciones

    El falibilismo en matemáticas no es al estilo del falibilismo en física, aunque Lakatos viene a establecer más o menos que ese es el caso. La provisionalidad no es ocasionada por nuestra falta de conocimiento del objeto que vamos concibiendo de manera progresiva (tampoco creo que ese sea el caso en ciencias, pero en fin...)en un supuesto ir descubriendo al "objeto en si".
    La provisionalidad en matemáticas es dada por las respectivas relaciones que pueden entrar en contradicción al abrirse lo definido a otras definiciones y objetos matemáticos futuros o pasados. No es que las definiciones no sean contradictorias, es que su apertura a nuevos ámbitos muestran que en ellas hay más que lo definido. En las matemáticas contemporaneas eso está a la orden del día, ya le comenté el Lema de Yoneda, en teoria de las categorias, que usted no interpreto bien en una discusión anterior.

    Es algo así como si se dijera que el martillo construido y definido para clavar clavos es contradictorio con una sociedad en donde no se dejan tener objetos potencialmente usables para hacer daño. El dar de si de los objetos matemáticos no es provisionalidad, sino antes al contrario, esta provisionalidad surge porque los objetos matemáticos dan de si al hacerse respectivos a nuevos ámbitos matemáticos.

    Saludos,

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  9. Enric

    La provisionalidad no es ocasionada por nuestra falta de conocimiento del objeto
    Yo creo, en cambio, que también en el caso de las matemáticas se da esa falta de conocimiento: se trata en ambos casos de que no sabemos todas las consecuencias que tienen nuestros postulados, hipótesis, definiciones, etc.. Obviamente, en matemáticas no averiguamos esas consecuencias haciendo las mismas cosas que hacemos en geología o en historia antigua o en física del estado sólido, pero siempre se trata de que nos encontramos con resultados que no habíamos previsto, o no encontramos los previstos, y ello nos fuerza a reformular nuestros postulados, hipótesis, definiciones, etc.
    .
    su apertura a nuevos ámbitos muestran que en ellas hay más que lo definido
    A veces no hace falta "abrir las definiciones a nuevos ámbitos": simplemente descubrimos que de nuestra definición se deriva una contradicción, p.ej. Aunque, obviamente, cuando se intenta aplicar un concepto a un ámbito nuevo suelen surgir más casos problemáticos. En todo caso, no voy a negar que todos nuestros conceptos son respectivos a lo que hacemos con ellos.

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  10. .En todo caso, no voy a negar que todos nuestros conceptos son respectivos a lo que hacemos con ellos.

    Bueno, me alegra oirle decir esto.

    Saludos,

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  11. José Luis:
    creo que no es tan sencillo como si las únicas opciones fueran "dar una definición" o "no dar ninguna definición". Toda definición se basa al fin y al cabo en la conjetura de que estamos usando un término "legítimamente"; la definición de la suma entre dos números se basa, en último término, en la idea de que estamos legitimados al usar la noción de "x es el sucesor de y", pero podríamos preguntarnos: ¿estamos REALMENTE legitimados?

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    1. La noción "x es el sucesor de y" se usa para definir los números naturales y parece que nos las apañamos bien con ella. Me parece que no tiene nada que ver con el caso que tratas en la entrada.

      Puedes dar una definición de suma infinita que sirva para todas o para una clase de sumas, puedes dar una definición que no sepas para qué conjunto de sumas infinitas sirva ni si es todo lo coherente que quisieras, puedes simplemente mencionar unas cuantas propiedades o manipulaciones que consideras necesarias (acaso no suficientes) para una tal definición,... Me parece que he indicado algo esto en mis comentarios. Con cualquiera de estas definiciones o cuasidefiniciones volvemos a lo mismo: necesitas algo desde lo que definir la validez (legitimidad?) de las manipulaciones a que has sometido a la suma infinita.

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