22 de mayo de 2013

Pitágoras fractal


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Visto en Cuaderno de Cultura Científica.
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21 comentarios:

  1. Este objeto matemático es una libre construcción según ciertos conceptos matemáticos previos a su construcción. Es fácil definir como se construye. ¿Dónde se construye?, en un espacio euclideo se contestará.

    Me surge ahora una pregunta, como podrían surgirme otras: ¿Cuánto vale el área de tal objeto construido (fractal pitagórico) sobre el espacio euclideo?.

    Podemos poner un sistema de referencia y nombrar los puntos, con un nombre y un apellido, coordenada X y coordenada Y. Podemos definir un dentro y un afuera del objeto. Podemos saber si un punto (x,y) pertenece o no al objeto, si está dentro o fuera. Podemos también definir la medida que llamamos área a ese conjunto de puntos que son del objeto. ¿En este objeto cuanto vale esa medida?. Creo que no se sabe.

    Un calculo sencillo aparentemente muestra que es infinita, pero ocurre que acaban superponiendose los puntos del fractal en iteracciones superiors. Además es fácil ver que el área está acotada. Es decir, el área es finita, repito: ¿Cuál es su valor exacto?

    Preguntas como esta me llevan a pensar que la realidad del objeto matemático siempre excede a su construcción. Aunque es su construcción, se hace respectiva a otras realidades matemáticas y se hace más que lo que era. La relación que se mantiene entre la superficie construida y su medida es una relación que excede a la construcción, que muestra que tal medida no está en el modo conceptual de ser construida, sino en “la realidad” de su construcción. Dicho de otro modo, el objeto matemático excede a lo postulado en él, porque se "monta" sobre un espacio que le da más propiedades que las postuladas, y se hace respectivo a otras realidades matemáticas que no estaban en la postulación inicial.
    Mi opinión es que si los objetos matemáticos exceden a lo construido inicialmente es precisamente porque la matemática no es una construcción que se realiza desde el vacío conceptual, o la formalidad lógica, sino que en cierta medida, el espacio euclideo (y los otros espacios también) está construido en última instancia desde el espacio perceptivo. Por tanto, no hay matemática no respectiva al hombre.

    Saludos,

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  2. Enric
    la realidad del objeto matemático siempre excede a su construcción
    Claro: p.ej., construimos una REGLA para definir los números naturales, pero, como dicen en mi pueblo, "hay más días que longaniza" ("dias"=números naturales; "longaniza"=construcciones humanas).
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    si los objetos matemáticos exceden a lo construido inicialmente es precisamente porque la matemática no es una construcción que se realiza desde el vacío conceptual, o la formalidad lógica, sino que en cierta medida, el espacio euclideo (y los otros espacios también) está construido en última instancia desde el espacio perceptivo
    Pero lo mismo podrías decir sobre el espacio perceptivo: siempre hay más espacio perceptivo que el que percibimos.
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    Saludos

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  3. Jesus Zamora,

    .Pero lo mismo podrías decir sobre el espacio perceptivo: siempre hay más espacio perceptivo que el que percibimos.


    No entiendo bien que quiere decir.

    Saludos,

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  4. Quiero decir que el límite entre lo percibido y lo que sabemos experiencialmente que está ahí pero no podemos decir que lo percibimos propiamente hablando es siempre difuso. Mira esto, p.ej.; ¿percibimos los bordes completos del triángulo blanco o no los percibimos? Parece que sí cuando miras la figura sin fijarte mucho, pero cuando intentas fijarte en esos bordes, lo que ves es que ahí no ves nada.

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  5. Más que difusa, lo que ocurre con nuestra percepción depende de nuestras intenciones. Nuestra conducta social condiciona lo que percibimos (http://www.youtube.com/watch?v=nPj01uzRHY0 , si apetece).

    En lenguaje cinematográfico se dice "fuera de campo" o "fuera de plano" a todo aquello que los personajes ven, pero el espectador no (normalmente porque se encuentra fuera del encuadre de la cámara). A menudo tampoco lo ve el actor que protagoniza la escena. Y tener en cuenta lo que no vemos es fundamental para una adecuada comprensión de la trama. Hoy los psicólogos cognitivos dirían que los seres humanos podemos usar sofisticados procedimientos de elipsis narrativa porque tenemos una teoría de la mente. Tan sofisticados que podemos invertir el truco con la cámara subjetiva, y aprendemos a entender que lo que vemos en el plano el la usurpación de una mirada, la de un personaje que no se ve, porque secretamente compartimos sus ojos, como un homúnculo cartesiano.

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  6. Sigo sin entender que tiene que ver esto con lo que decía en referencia a la realidad que trataba de darle a los espacios matemáticos.
    De todos modos, la diferencia entre lo que percibo y lo que hay, es la diferencia entre unas percepciones y otras. Percibo que un hombre se acerca a mi, y luego percibo un espejo. Lo que hay es un referir de unas percepciones sobre otras. El engaño en ULTIMA INSTANCIA se descubre en referencia a lo dado en el hombre. Es desde esas referencias que decimos despues "lo que hay". Pero lo que hay no es más (en ultima instancia) que lo postulado interpretativamente y contratasdo desde los que no es dado. Lo "que hay" es establecido desde lo dado y su modo impositivo de darse, y no "lo dado" desde "lo que hay", eso en todo caso es ulterior..
    Mi interés está en mostrar que los espacios fisicos y los espacios geometricos heredan sus estructuras de la espaciosidad dada en "el espacio perceptivo"; donde heredar significa que son "respectivos a".

    Saludos,

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    1. Puse : "desde lo que no es dado"
      y quise decir "desde lo que nos es dado"

      disculpas.

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  7. Enric:

    "1 la matemática no es una construcción que se realiza desde el vacío conceptual, o la formalidad lógica, 2 sino que en cierta medida, el espacio euclideo (y los otros espacios también) está construido en última instancia desde el espacio perceptivo. 3 Por tanto, no hay matemática no respectiva al hombre."

    Estoy de acuerdo con 1, con 2 y con 3. Pero resulta que matizando 2, el trípode levita. El espacio perceptivo no es primigenio. También es construido. Esto ya lo hemos sobao. No vemos espacios euclídeos si no les clavamos ejes de coordenadas.

    "La relación que se mantiene entre la superficie construida y su medida es una relación que excede a la construcción, que muestra que tal medida no está en el modo conceptual de ser construida, sino en “la realidad” de su construcción."

    La realidad de su construcción es el tablero de juego, el escenario que resulta del modo conceptual de ser construida.

    "lo que hay no es más (en ultima instancia) que lo postulado interpretativamente y contratasdo desde los que no es dado. Lo "que hay" es establecido desde lo dado y su modo impositivo de darse"

    Y su modo impositivo de darse es interpretativamente. Esa jerarquía de instancias que manejas es lastre metafísico. El mundo es un "érase una vez", no una impresión en cuatricromía.

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  8. Enric

    la diferencia entre lo que percibo y lo que hay, es la diferencia entre unas percepciones y otras
    ¿Y la diferencia entre lo que percibo y aquello que hay pero que no percibo?
    .
    los espacios fisicos y los espacios geometricos heredan sus estructuras de la espaciosidad dada en "el espacio perceptivo"; donde heredar significa que son "respectivos a".
    Me temo que tu concepto de "ser respectivo a" se me escapa totalmente. Intento entenderlo como una forma un poco más rimbombante de decir "tener alguna relación con", pero son tantas y tan variadas las clases de relaciones que una cosa puede tener con otras, que el concepto se me queda totalmente vacío: claro, todo tiene ALGUNA relación con cada cosa.
    Sobre lo otro, pues no sé: no veo muy bien qué puede ser exactamente lo "dado en el espacio perceptivo" cuya "herencia" es lo que me permite comprender conceptos como el de número irracional, o un espacio de infinitas dimensiones, o el de grupo abeliano, o el de infinitesimal.
    Saludos

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  9. Masgüel,

    .El espacio perceptivo no es primigenio.

    No necesita serlo, y no lo es. Es abierto, y la percepción no es aprehensión primaria como ya he dicho otras veces. La percepción es "cosa sentido" ya. Pero yo apunto a la “negatividad “ de lo dado “positivamente “ dentro de un cerco de sentido. Apelo a aquello que hace posible el sentido.


    . No vemos espacios euclídeos si no les clavamos ejes de coordenadas.

    No hay que verlos, los espacios geométricos son construidos. Son construcción postulada realizada desde aspectos de lo dado, pero no son dados perceptivamente, sino en un "espacio- interpretativo-imaginario".


    .La realidad de su construcción es el tablero de juego, el escenario que resulta del modo conceptual de ser HABLAR de la realidad o INTERPRETARLA es situarnos en el juego, pero aunque no voy a debatir ahora eso, me parece que no es asi. Hay un darse que es independiente del sentido que le damos en su donación.

    .Y su modo impositivo de darse es interpretativamente.

    Yo veo esta pared verde, aunque quiera verla roja, no puedo, se me da verde. Aunque sea un sueño, así es como se me da. Esa imposición, no es interpretativa, lo que yo diga, crea, me imagine, perciba... de esa imposición es lo que en todo caso es interpretativo, pero hay en su darse un modo impositivo y noergico no intencional.. Antes de la cosa-sentido , está la cosa-realidad, y eso a mi me parece evidentísimo, aunque sé que muchos no estais de acuerdo con ello. Aceptaria de buen gusto que todo es interpretación, pero no lo veo, noto diferencias, variedad, imposición, donación...

    .Esa jerarquía de instancias que manejas es lastre metafísico. El mundo es un "érase una vez", no una impresión en cuatricromía.

    El “erase una vez” no lo niego. Lo que digo es que es ulterior y no suficientemente radical. Por otro lado no sé a que
    jerarquía te refieres, ni que mezcla de colores me asignas, ya me dirás qué si te apetece.

    Saludos,

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  10. Enric

    "Yo veo esta pared verde, aunque quiera verla roja, no puedo, se me da verde.( ) Esa imposición, no es interpretativa"

    Es que uno no interpreta el mundo como quiere, pero sin "verde" y "rojo" no verías ni verde, ni rojo.

    "no sé a que jerarquía te refieres, ni que mezcla de colores me asignas"

    Lo dado e interpretado como anterior y ulterior. Dije cuatricromía porque no es mezcla sino sucesión de colores. Mis regüeldos mentales no merecen mayor indagación.

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  11. Jesus Zamora,

    .¿Y la diferencia entre lo que percibo y aquello que hay pero que no percibo?

    Digame algo que hay pero que no sea respectivo a alguna percepción. Ya sé que usted cree que hay cosas así, yo lo niego.

    . Intento entenderlo como una forma un poco más rimbombante de decir "tener alguna relación con"

    Bueno, no es eso, pero de entrada sirve. Rimbobante lo es todo hasta que uno se acostumbra. Siempre es rimbobante la filosofía. La suya también, no se crea.

    . pero son tantas y tan variadas las clases de relaciones que una cosa puede tener con otras, que el concepto se me queda totalmente vacío: claro, todo tiene ALGUNA relación con cada cosa.

    Pues eso es lo que digo. El problema no es que sea un concepto trivial o cuasi vacio, es que se olvida, y se cree que algo es algo por y en sí mismo, cuando todo es respectivo a todo, y en particular y muy especialmente al hombre.

    . no veo muy bien qué puede ser exactamente lo "dado en el espacio perceptivo" cuya "herencia" es lo que me permite comprender conceptos como el de número irracional, o un espacio de infinitas dimensiones, o el de grupo abeliano, o el de infinitesimal.

    Pues a mi me parece clarísimo. Todos esos conceptos u objetos matemáticos de los que habla, están basados en percepciones. Trate de enseñarlos y ya verá. Sin ellas, los conceptos no se elaborarían: primero porque no podríamos inteligirlos (somos monos cazadores, no lo olvide), segundo, porque los construimos desde aquello que se nos da ¿Cómo si no?. Podría, pero obviamente no voy hacerlo aquí, dar una construccion historica de cada uno de esos objetos matemáticos, y convendrá conmigo (supongo) que están bien anclados en percepciones.

    Saludos,

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  12. Enric:

    "¿En este objeto cuanto vale esa medida?. Creo que no se sabe."

    Al contrario que tú, yo creo que no hay superposiciones, si eso es correcto el área podría ser

    (1-a)(1+A)/A

    veces el área del cuadrado grande si yo no me he equivocado al echar cuentas, que es lo más fácil. El valor a es la longitud del cateto "vertical" del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el lado del cuadrado grande, y A es a al cuadrado (no me deja poner superíndices en los comentarios).

    "Preguntas como esta me llevan a pensar que la realidad del objeto matemático siempre excede a su construcción ... La relación que se mantiene entre la superficie construida y su medida es una relación que excede a la construcción, que muestra que tal medida no está en el modo conceptual de ser construida"

    En este caso es engañoso hablar de construcción, ya que no es un procedimiento finito para obtener el objeto. Es más una descripción que usa el lenguaje familiar de una construcción geométrica. Esa descripción la podemos traducir al lenguaje algebraico siguiendo tu plan de "puntos con nombre y apellido" y hacer operaciones algebraicas para obtener el área, aunque no podamos hacerlo mediante operaciones geométricas.

    Entonces el objeto tiene propiedades que quedan determinadas por su descripción pero a las que no podemos acceder sin salirnos del lenguaje en el que está escrita esa descripción. ¿Es esto lo mismo que querías decir?

    De eso es de lo que tratan las matemáticas, el teorema de Pitágoras nos dice que pensar-en-un-triángulo-como-objeto-con-tres-ángulos nos permite hablar de unas propiedades de los triángulos, algunas de las cuales determinan otras propiedades que sin embargo no podemos expresar dentro del pensamiento-de-un-triángulo-como-objeto-con-tres-ángulos.

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  13. Pedro Teran,

    .Al contrario que tú, yo creo que no hay superposiciones
    Sí que las hay. Yo he interpretado el fractal que se muestra la entrada como un esquema del fractal y no el fractal completo (cosa siempre imposible de representar). Es decir, sobre cada cuadrado se construyen nuevos cuadrados. El calculo del área sin superposiciones es elemental ya que la suma de las areas de los cuadrados que se construyen es igual a la del inicial (teorema de Pitagoras).

    .En este caso es engañoso hablar de construcción, ya que no es un procedimiento finito para obtener el objeto.

    Y qué. Obviamente los problemas aparecen cuando surge el infinito por algún lado. Pero aceptar solo como construible lo finito siempre me ha parecido forzado a las circunstancias filosóficas más que a las matemáticas.

    . no podemos acceder sin salirnos del lenguaje en el que está escrita esa descripción. ¿Es esto lo mismo que querías decir?

    Bueno, no es eso. No es un cambio de lenguaje, como cuando se utiliza el algebra para mostrar que la cuadratura del circulo es imposible. Más bien es aquello que hace posible que haya varios lenguajes.

    .De eso es de lo que tratan las matemáticas, el teorema de Pitágoras nos dice que pensar-en-un-triángulo-como-objeto-con-tres-ángulos nos permite hablar de unas propiedades de los triángulos, algunas de las cuales determinan otras propiedades que sin embargo no podemos expresar dentro del pensamiento-de-un-triángulo-como-objeto-con-tres-ángulos.

    Y de que el triangulo se pone en relación a otros objetos matemáticos, y de porque se puede poner en relación.

    Saludos,

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    1. Enric, a ojo parece seguro decir que no las hay.

      "es elemental ya que la suma de las areas de los cuadrados que se construyen es igual a la del inicial (teorema de Pitágoras)"

      Yo no veo esa elementalidad.

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  14. Masgüel,

    .Es que uno no interpreta el mundo como quiere, pero sin "verde" y "rojo" no verías ni verde, ni rojo.

    Ya comentamos eso en algún otro momento. El color verde es una percepción, no una aprehension primaria. Pero el "darse algo" que hace posible la interpretación del color verde, esa noergia e imposición, no es un instalarse dentro del sentido hermeneutico, antes al contrario, lo transciende.


    .Lo dado e interpretado como anterior y ulterior

    Bien en el sentido temporal no es así. No es que primero tenga aprehensiones primarias, y después la interpretación de estas, eso me parece absurdo. Lo que manifiesto es que dentro del campo interpretativo, incoativamente, se da un prius en lo dado que hace posible el sentido. El sentido se actualiza desde algo que en su seno no es sentido, y es por eso que el sentido es ulterior. Dicho de otro modo, la realidad no es semántica es sintactica o respectiva. (La respectividad como dimensión de la realidad expresa el carácter sintáctico-sistémico de la misma )

    Saludos

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  15. Enric

    Digame algo que hay pero que no sea respectivo a alguna percepción

    ¿Puede existir algo que Julio César no supiera que existía?
    Me parece que la respuesta obvia es "sí".

    ¿Puede haber algo que Enric Rodríguez no sepa que existe?
    Me parece que, a menos que supongamos que Enric Rodríguez participa de la omnisciencia en mayor medida que Julio César, la respuesta obvia es también "sí"

    ¿Puede haber algo que ningún ser humano sabe que existe?
    Por las mismas razones, creo que la respuesta también tiene que ser que "sí".

    ¿Puede haber algo que ningún ser humano haya percibido o vaya a percibir jamás?
    Idem.
    .

    Con respecto a la necesidad de la percepción para entender los conceptos matemáticos, no lo pongo en duda (un ser que no percibiera no podría pensar conceptos matemáticos, y seguramente tampoco ningún otro concepto), pero me refiero más bien a que la percepción no es SUFICIENTE para construir los objetos matemáticos, y ese ALGO MÁS que se añade a la construcción de los objetos matemáticos no puede, por lo tanto, surgir de la percepción.

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  16. Jesus Zamora,

    . ¿Puede haber algo que ningún ser humano haya percibido o vaya a percibir jamás?
    Idem.

    Hemos discutido esto hasta la saciedad. Ya le he contestado, pero lo repito: Decir que algo puede existir al margen de la percepción es respectivo a que haya percepción. Es así de simple. Sin percepción no hay existencia al margen de la percepción. Usted confunde respectividad con relación. En fin…

    .me refiero más bien a que la percepción no es SUFICIENTE para construir los objetos matemáticos, y ese ALGO MÁS que se añade a la construcción de los objetos matemáticos no puede, por lo tanto, surgir de la percepción.

    Exactament. El que dic és que l’espai geomètric i físic són respectius a la espaciositat de la percepció, no que aparegui per ella ( si de cas en un sentit metafòric).

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  17. Glub, me he dado cuenta que la última frase la he escrito en catalan, disculpas.
    Se entiende pero lo que dice es:

    Exactamente. Lo que digo es que el espacio geometrico y fisico son respectivos a la espaciosidad de la percepción, no que surja por ella ( si acaso en un sentido metafórico)

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