8 de abril de 2011

CONJUNTOS ARBITRARIOS


Ayer estuve en una charla de Pepe Ferreirós, especialista en historia y filosofía de la matemática, sobre la noción de "conjunto arbitrario", y fue de lo más interesante.
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Un conjunto es no-arbitrario cuando puede definirse mediante una fórmula o predicado, es decir, mediante un enunciado con una variable no ligada por ningún cuantificador ("el conjunto de todos los x tales que Fx", donde "Fx" es, p.ej., "x es un número primo"). Un conjunto arbitrario es, por lo tanto, un conjunto que NO puede ser definido mediante ninguna fórmula. Fijémonos, para mayor claridad, en los conjuntos formados por números naturales (es decir, si N es el conjunto de todos los números naturales, hablamos de los subconjuntos de N).
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¿Qué subconjuntos de N son arbitrarios? La respuesta es que casi todos:
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Como sabéis, llamando "A0" ("aleph-sub-cero", pero no voy a ponerme a buscar el símbolo "aleph") a la "cantidad" de números naturales (la "cardinalidad" de N), hay 2^A0 (dos elevado a A0) subconjuntos de N, cantidad que, curiosamente, es igual a la "cantidad" de números reales, o la cardinalidad del conjunto R (bueno, no tan curioso, como veremos en un momento), y 2^A0 es necesariamente mayor que A0. Un problema abierto de la teoría de conjuntos es si hay algún conjunto que sea mayor que N pero menor que R; que NO lo hay, es decir, que TODOS los subconjuntos de R tienen, o bien el mismo tamaño que N (son "infinitamente contables"), o bien el mismo tamaño que R (es decir, que 2^A0= A1) es la famosa "hipótesis del continuo".
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Pero, por otro lado, hay SÓLO "infinitamente contables" fórmulas construibles con un lenguaje finito, y por lo tanto, la cantidad de conjuntos no-arbitrarios (o sea, los definibles mediante esas fórmulas) es A0.
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Así pues, si N tiene 2^A0 subconjuntos, pero SÓLO A0 de esos conjuntos son definibles, resulta que hay 2^A0 - A0 (igual, naturalmente, a 2^A0) subconjuntos arbitrarios de números naturales.
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¿Cómo "identificar", o al menos, cómo "concebir" o "referirnos a" un subconjunto arbitrario de números naturales? Ferreirós mostró en su charla un procedimiento muy intuitivo. Imaginemos que representamos (como se hace normalmente) cada número real mediante un número decimal infinitamente largo; para simplificar, podemos pensar en los números reales comprendidos entre 0 y 1, todos los cuales tienen la forma 0,abcdefg..., donde cada letra es un dígito. Para simplificar más aún, supongamos que estamos escribiendo los números en notación binaria, de modo que los dígitos sólo pueden ser ceros o unos. Tenemos, por tanto, todos los números reales comprendidos entre 0,00000.... (que es 0) y 0,1111111...... (que es igual a 1). Los dígitos de la expansión decimal de uno de estos números (lo que va después de la coma) están ORDENADOS, es decir, podemos hablar del PRIMER decimal, el SEGUNDO decimal, el decimal TRICENTÉSIMO OCTOGÉSIMO CUARTO, etc., etc., etc.
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Pues bien, sea r un número cualquiera de esos (0,01001010001...), y consideremos un conjunto C definido de la manera siguiente a partir de r:
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C(r) es el conjunto de todos los números naturales n tales que n pertenece a C(r) si y sólo si el n-simo decimal de r es un 1.
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(En el ejemplo, C(r) contendrá el 2, el 5, el 7, el 11, y los números correspondientes a los demás LUGARES de la expresión decimal de r en los que halla un 1 en vez de un 0).
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Es fácil darse cuenta de que, puesto que entre 0 y 1 están TODAS las expresiones decimales POSIBLES (pues luego se repiten las mismas entre 1 y 2, entre 2 y 3, etc.), este procedimiento nos permite definir TODOS los subconjuntos de N.
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Ahora bien, ¿no es esto una paradoja? ¿No hemos definido así TODOS los subconjuntos de N, cuando habíamos dicho que la mayoría de ellos eran arbitrarios, o sea, indefinibles? Pues no: en realidad, la expresión en negrita NO es, por sí mismas, una DEFINICIÓN del conjunto C(r), pues para que lo sea, TODOS los elementos de la definición tienen que ser definibles mediante alguna fórmula, y no hay nada que garantice que el número r sea "definible" mediante una fórmula. P.ej., todos los números racionales son definibles (basta con decir cuál es la fracción a la que son iguales), y muchos (pero "sólo" infinitamente contables) de los irracionales son definibles (p.ej., muchos que son igual a la raíz cuadrada de un número natural, si ésta no es un número natural; p.ej., raiz de 2, raiz de 10, etc.), así como muchos números que son soluciones de ecuaciones. Pero SÓLO hay A0 números irracionales definibles así. La inmensísima mayoría de los números REALES no son definibles, es decir, no podemos dar una FÓRMULA con la que identificarlos, y por lo tanto,el conjunto C(r) (el conjunto de números naturales n tales que el n-simo decimal de r es un 1) no está, en realidad, DEFINIDO.
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Dicho de otra manera: prácticamente TODOS los números reales no podemos DECIR cuáles son (sólo podríamos decirlo ESCRIBIENDO su serie completa de decimales). Y eso mismo implica que prácticamente TODOS los subconjuntos de números naturales no podemos decir cuáles son.
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La pregunta obvia es, ¿EXISTEN esos números, y esos subconjuntos? Hay quienes dicen que no, que sólo existe en matemáticas aquello que se puede DEFINIR, y han mostrado que otras ramas de la matemática que habitualmente se fundamentan en la teoría de conjuntos pueden explicarse sin suponer la existencia de esas entidades. La mayoría de los matemáticos piensan que sí, que la existencia de esos números y conjuntos es algo incluso "obvio". Pero en la charla de Ferreirós quedó claro que no hay argumentos convincentes para ninguna de las dos posiciones (y no sólo tienen por qué ser esas dos).

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25 comentarios:

  1. Todo eso, visto algorítmicamente, es mucho más fácil de entender, incluidas las limitaciones asociadas. Te evitas las connotaciones peligrosas del concepto de "existencia", sin limitar las posibilidades ni tener que ponernos constructivistas. Precisamente, el concepto de "definibilidad" se puede separar en el concepto de entidad "construible" y de entidad "verificable". Y el problema de la verificabilidad es que, en principio, no puedes aplicarla a un conjunto no enumerable. Si es infinito, pero enumerable, en principio sigue existiendo un semialgoritmo de verificabilidad (un algoritmo que para sólo para un tipo de respuesta).

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  2. La hipótesis del continuo no es un problema abierto en la teoría de conjuntos. Es una proposición indecidible con los axiomas al uso (como lo es el quinto postulado de euclides). El problema se "cerró" cuando se demostró que se puede construir una teoría de conjuntos con esa hipótesis como axioma y otra con su negación.

    Por lo demás, no hay tal cosa como la pregunta obvia de sobre si "EXISTEN esos números, y esos subconjuntos".

    Lo que hay, por ponerlo en tu lenguaje (tú = JZ), es qué juego quieres jugar. Puedes jugar a poner el cuantificador existencial cuando defines algo completamente (en finitos pasos, detallando cada uno), cuando te permites una recursión como la de la inducción matemática, cuando te permites usar el axioma de elección (y la inducción transfinita), cuando te permites usar la contradicción,...

    Creo que esto es también lo que dice Freman con sus "juegos algorítmicos".

    También puedes, como ya dije en su día, usar varios tipos de cuantificadores existenciales y jugar a un juego con distintos tipos de existencia.

    La cuestión es qué juego es más interesante, y eso puede muy bien depender de la respuesta a ¿interesante para qué?

    Por ejemplo, la integral de Lebesgue opera de una manera distinta a la integral de Riemann, que tiene que ver justamente con la existencia de conjuntos no medibles, que debe aceptarse si se acepta poner el cuantificador existencial más allá de lo que se podría hacer con matemáticas finitas o constructivas.

    La integral de Lebesgue es importantísima para todos los modelos de probabilidad con variable continua y estos modelos, a su vez, son importantísimos en la economía moderna.

    ¿Por qué son tan importantes? Porque son mucho más sencillos de manejar que sus versiones finitas (acaso más realistas). Normalmente los resultados son los mismos, pero a veces el modelo finito y el continuo da resultados distintos. No es obvio que en ese caso haya que dar siempre preponderancia al finito por ser más realista. Las hipótesis pueden ser o parecer más realistas, pero los resultados pueden ser justo lo contrario.

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  3. José Luis:
    lo que se ha demostrado es que la HC es independiente de los axiomas ZF; pero no hay por qué aceptar que los axiomas ZF dan algo así como "la definición correcta (?) de la noción de 'conjunto'", y por lo tanto, la independencia de HC muestra simplemente que esos axiomas no dan una definición "completa (?)" de esa noción.
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    La cuestión es que a mucha gente (yo incluído) le parece que la HC debe de ser, o bien verdadera, o bien falsa. Es decir, o bien HAY algún subconjunto de R que es mayor que N pero menor que R, o bien no lo hay. La cuestión, entonces, sería saber qué axiomas debemos AÑADIR a ZF para que nos permitan DESCUBRIR esas propiedades de R que los axiomas ZF solos no nos permiten averiguar.
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    Freman: me temo que no lo pillo. ¿Cómo, exactamente, "separas" la noción de "constructibilidad" de la nción de "definibilidad"? ¿Y qué consecuencias tiene para el problema que digo en la entrada?

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  4. Jesús,

    El número omega de Chaitin es definible pero no construible.

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  5. Ejecución:
    por lo que ayer nos explicó Ferreirós, la noción de "definibilidad" a la que se refiere el concepto de "conjunto arbitrario" es utilizando sólo fórmulas bien formadas de la sintaxis de la teoría de conjuntos (un objeto puede ser no-definible con un lenguaje, pero sí definible con otro más rico), y además, la noción de "constructibilidad" (si lo entendí bien) es MÁS RESTRINGIDA que la de "definibilidad". Así que supongo que tenemos que estar refiriéndonos a cosas distintas. ¿Qué entendéis Freman y tú entonces exactamente por esas dos nociones?

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  6. Jesús,

    Entiendo "definible" como equivalente de "identificable".

    "El conjunto de todos los números reales cuya expansión decimal binaria comienza por 1" sería un conjunto definible (o definible en español, para ser más exactos) desde el momento en que identifica a un conjunto muy concreto.

    Ese conjunto no es, sin embargo, construible, entendiendo por "construibles" todos aquellos conjuntos para los cuales disponemos de un procedimiento que nos permita conocer cualquier de sus miembros.

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  7. Según esas definiciones pedestres que acabo de dar, por tanto, todo número construible es definible, pero no todo número definible es construible.

    (Creo que el año pasado te hubiera podido contestar algo mejor, porque anduve bastante obsesionado con estas cuestiones de lo definible, lo computable, lo pensable, el ordinal Church-Kleene y demás familia, pero ahora mismo es muy poquito ya lo que recuerdo de todas estas historias).

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  8. Jesús:

    Pero es que es eso, precisamente. Lo mismo que los cuatro primeros axiomas de Euclides no dan una definición correcta de la noción de geometría. Ni el sistema formal al que le falta la proposición de Gödel da definición correcta de la noción de ¿???

    Recuerda que el sistema formal va a su bola. Nuestra interpretación de él como geometría, conjunto, o lo que sea es irrelevante.

    La hipótesis es indecidible a partir de los otros axiomas justamente porque es independiente de los otros axiomas. Son maneras de decir lo mismo.

    "La cuestión, entonces, sería saber qué axiomas debemos AÑADIR a ZF para que nos permitan DESCUBRIR esas propiedades de R que los axiomas ZF solos no nos permiten averiguar"

    ¿Qué propiedades? Para cada propiedad P de la que ZF no dice nada tendrás la no-P como posibilidad. Además, esa propiedad o su negación bien puede ser el axioma que debes añadir, como en el axioma de elección. Recuerda que tendrás muchas de esas propiedades y que nunca podrás considerarlas todas

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  9. Ejecución:
    es que creo que el ejemplo que pones de "conjunto definible" es uno de los que en la entrada llamo "no definibles" o "arbitrarios". (En particular, he tenido cuidado con insistir en que la "definibilidad" se refiere a una fórmula abierta del lenguaje formal, no a algo así como "definibilidad en castellano", pues si no se hace así, se da lugar a paradojas, p.ej., la paradoja de Richards).
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    José Luis: pero precisamente el 5º postulado de Euclides es verdadero en ciertos espacios y falso en otros, y es una pregunta pertinente si en el espacio "euclídeo" (el que no tiene curvatura), se cumple ese postulado o no; los otros cuatro postulados de euclides no son suficientes para determinar si un espacio es euclídeo o no. En el caso de los conjuntos R y N, la situación es similar: los axiomas de ZF ¿nos dicen TODO lo que consideramos VERDADERO acerca de ciertas nociones? (Ten en cuenta que no se ponen los axiomas que a uno le da la gana -o al menos, no siempre, y no, precisamente, en este ejemplo histórico-, sino que se BUSCARON los axiomas que "capturasen" todo lo RELEVANTE de unas nociones que nos parecían más o menos intuitivas PREVIAMENTE A TENER LOS AXIOMAS -como las nociones geométricas se consideraban antes de Euclides-).

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  10. Entonces no entiendo tu primer comentario. Eso es exactamente lo que yo decía, con la salvedad de que no sé qué es eso de lo que consideramos verdadero acerca de ciertas nociones. Supongo que te refieres a lo que intuimos o algo así. No siempre acabamos definiendo las cosas del modo que las creíamos intuitivas.

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  11. Jesus,

    He dicho "definible en castellano" porque mi ejemplo estaba en castellano, pero mi concepto de definible podria adaptarse, creo, a cualquier lenguaje formal que podamos concebir. En concreto, creo que nada impediria redifinir al conjunto de mi ejemplo, en algun lenguaje formal L, como "el conjunto de todos los x tales que FX", donde "Fx" es "x es un numero real cuya expansion decimal binaria tiene como primera cifra un 1".

    Si esto es asi (y creo que es asi), habriamos definido a ese conjunto, en el sentido de que nuestra formula nos permitiria distinguirlo inequivocamente del conjunto de los numeros cuya primera cifra es cero o de aquellos cuya segunda y tercera cifra es un uno.

    El conjunto, sin embargo, a pesar de esa definicion en un lenguaje tan formal o riguroso como queramos, seguiria sin ser construible, en el sentido de que seguiriamos sin contar con un procedimiento que nos permitiera determinar de manera inequivoca cualquier miembro suyo (a la manera en que un algoritmo nos permite conocer, por ejemplo, cualquier cifra de pi).

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  12. En cuanto al conjunto C(r) de tu ejemplo, no seria definible desde el momento en que su "definicion" (si la he entendido bien) no permite identificarlo, esto es, distinguirlo de manera inequivoca de cualquier otro conjunto. Esa definicion solo seria tal si contaramos con una definicion previa del numero r que sirve de base al conjunto.

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  13. Ejecución:
    el conjunto que tú dices, ¿cómo sabes qué elementos tiene? Ya PRESUPONES que existen TODOS los números cuya expresión decimal empieza por 1, TANTO aquellos que podemos definir, como aquellos que no podemos. Así que alguien que rechace los conjuntos arbitrarios te diría "claro, el conjunto de todos los números cuya expresión decimal empieza por uno, existe; pero SÓLO contiene aquellos números cuya expresión decimal podemos definir, o sea, los números reales que EXISTEN y cumplen tu definición -no los que NO existen".
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    José Luis:
    en efecto, me refiero a algún tipo de "intuición". Lo que nos hace pensar que ciertos axiomas tienen más "sentido" que otros, p.ej.

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  14. C(r) es el conjunto de todos los números naturales n tales que n pertenece a C(r) si y sólo si el n-simo decimal de r es un 1.

    Vaya definicion, por que no has escrito

    C(r) es el conjunto de todos los números naturales n tales que el n-simo decimal de r es un 1.

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  15. Jesus,

    Ya PRESUPONES...

    En efecto, mi ejemplo presupone la existencia de un conjunto R, cuya cardinalidad supera la de N, para ilustrar la diferencia entre "definible" y "construible" por la que preguntabas.

    Y en efecto, si alguien rechazara la existencia de los conjuntos arbitrarios, o del conjunto R, o de las partes decimales infinitas, o sostuviera que "definible" y "construible" deben ser sinonimos, mi ejemplo le resultaria bastante insatisfactorio.

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  16. Por lo demas, tengo la sospecha de que incluso ese restringido "conjunto de los numeros definibles cuya primera cifra decimal es uno", propuesto por esos hipoteticos rechazadores de lo indefinible, tendria la propiedad de ser definible pero no construible.

    (La idea basica es que, si hubiera un algoritmo que pudiera generar tal conjunto, podria crearse mediante diagonalizacion un numero simultaneamente definible e indefinible, al modo de la paradoja de Richards que citabas antes).

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  17. "en efecto, me refiero a algún tipo de "intuición"."

    No estoy seguro de que la investigación en teoría de conjuntos que pueda resolver estas cuestiones se esté basando en intuición de ese tipo:

    http://www.ams.org/notices/200106/fea-woodin.pdf

    En ese artículo (divulgación para matemáticos) Hugh Woodin, uno de los conferenciantes plenarios en el último Congreso Internacional de Matemáticos, discute el axioma de "determinación proyectiva".

    El axioma (agarrémosnos al asiento) dice que "Todo subconjunto A de [0,1] que puede obtenerse aplicando sucesivamente proyecciones y/o pasos al complementario a un cerrado de R^k, cumple que en el siguiente juego infinito de dos jugadores, alguno de ellos tiene una estrategia ganadora: Se calcula una suma (posiblemente de infinitos sumandos) en la que, alternativamente, los jugadores eligen si añadir un sumando 2^(-n) -donde n es el número del turno- o pasar; gana el primer jugador si el valor de la suma pertenece a A."

    En palabras de Woodin, "It has to be acknowledged at this point in our discussion that the axiom Projective Determinacy is not only not obviously true, it is not even obviously consistent."

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    Por otra parte, según Woodin, "the ZFC axioms are obviously incomplete and, moreover, incomplete in a fundamental way".

    El artículo tiene una segunda parte sobre la relación entre la Determinación Proyectiva y la Hipótesis del Continuo que puede interesar a alguien:

    http://www.ams.org/notices/200107/fea-woodin.pdf

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  18. Una ultima cosa que quiza no ha quedado clara. Entiendo que mi definicion es una definicion porque, de todos los conjuntos posibles de numeros reales, identifica a uno y solo uno de manera inequivoca: el formado por todos los numeros cuya primera cifra es uno. (Siempre que aceptemos como bien definidos en algun lenguaje los conceptos de "real", "conjunto", etc.).

    La definicion que tu ofreces de C(r), en cambio, no es tal definicion porque no define (es decir, no identifica) a un numero real en concreto, sino que habla de "un numero r cualquiera". Mientras no diga "el numero r caracterizado por tal y por cual", por tanto, no seria la definicion de un conjunto sino de un tipo de conjuntos. (Un tipo de conjuntos, dicho sea de paso, que coincide con la totalidad del conjunto potencia de N).

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  19. David:
    por que no has escrito

    C(r) es el conjunto de todos los números naturales n tales que el n-simo decimal de r es un 1.

    Las dos definiciones son equivalentes.
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    Ejecución:
    esos hipoteticos rechazadores de lo indefinible
    No son hipotéticos: son los intuicionistas.
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    Entiendo que mi definicion es una definicion porque, de todos los conjuntos posibles de numeros reales,
    Claro, pero la cuestión disputada es QUÉ NÚMEROS REALES EXISTEN (según los intuicionistas, NO existirían aquellos números reales cuya expansión decimal es indefinible).
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    La definicion que tu ofreces de C(r), en cambio, no es tal definicion porque no define (es decir, no identifica) a un numero real en concreto, sino que habla de "un numero r cualquiera".
    Claro. Es como la definición de "sucesor de n" (que no es lo mismo que la definición de "sucesor de 8").
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    no seria la definicion de un conjunto sino de un tipo de conjuntos. (Un tipo de conjuntos, dicho sea de paso, que coincide con la totalidad del conjunto potencia de N
    ¡Claro! Ese es el objetivo de la definición: mostrar que, SI ACEPTAMOS que los números reales son TODAS las expansiones decimales posibles, entonces eso equivale a aceptar la existencia de TODOS los subconjuntos de N.
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    Gracias por la referencia, Pedro.
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  20. Jesus,

    Hasta donde yo se, los intuicionistas no se limitan a rechazar lo indefinible en matematicas, sino que extienden su rechazo a todo lo infinitista. Para ellos, de hecho, no existirian tampoco las expansiones decimales infinitas.

    Claro, pero la cuestión disputada...

    Creia que la que disputabamos nosotros era si tiene algun sentido distinguir entre lo definible y lo construible o si, por el contrario, son conceptos equivalentes.

    Claro. Es como la definición de "sucesor de n"...

    Ese es precisamente el problema de tu definicion: que se presenta como definicion del sucesor de un numero en concreto cuando, realmente, es la definicion del concepto de sucesor. O, para no liarnos con comparaciones: que se presenta como la definicion de un conjunto en concreto, el tal C(r), cuando realmente es la definicion de un tipo de conjunto.

    SI ACEPTAMOS que los números reales son TODAS las expansiones decimales posibles...

    Esto no lo entiendo. No creo que haya nadie que acepte la existencia del conjunto R y se niegue a aceptar la existencia del conjunto potencia de los naturales.

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  21. Ejecución:
    los intuicionistas no se limitan a rechazar lo indefinible en matematicas
    Ya.
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    la que disputabamos nosotros era si tiene algun sentido distinguir entre lo definible y lo construible
    Claro: es que lo que llamabais "construible" era lo que yo llamaba "definible". Y lo que pregunto, por tanto (y no tengo claro si habéis respondido), es si llamáis "construible" también a algo DISTINTO de lo que yo llamo "definible".
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    Ese es precisamente el problema de tu definicion: que se presenta como definicion del sucesor de un numero en concreto cuando, realmente, es la definicion del concepto de sucesor
    Es que no veo que sea un problema. ¡¡¡Claro que lo presente como la definición de un CONCEPTO!!! (es decir, no es UNA definición, sino un ESQUEMA de definición, esquema que SÓLO puede ser convertido en una definición cuando se pone un número en particular en vez de la variable r). ¡¡¡Pero eso es lo que pretendía!!!
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    No creo que haya nadie que acepte la existencia del conjunto R y se niegue a aceptar la existencia del conjunto potencia de los naturales.
    ¡¡¡Obviamente!!! Los que niegan la existencia de "las expansiones decimales no definibles" ¡¡¡precisamente no aceptan la existencia de R!!!

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  22. Jesus,

    Claro: es que lo que llamabais "construible" era lo que yo llamaba "definible"

    Entonces he entendido mal tu entrada.

    ...si llamáis "construible" también a algo DISTINTO de lo que yo llamo "definible".

    Llamo definible a todo aquel conjunto que puede ser identificado de manera inequivoca dentro de un determinado sistema matematico, y llamo construible a todo aquel conjunto para el cual disponemos, dentro de un determinado sistema matematico, de algun procedimiento que nos permita obtener cualquier elemento suyo.

    Asi, por ejemplo, dentro de un sistema como la teoria de conjuntos cantoriana, el conjunto N de los numeros naturales es definible y construible, mientras que el conjunto R de los numeros reales es definible pero no construible.

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  23. ¡¡¡Pero eso es lo que pretendía!!!

    Ok entonces.

    Los que niegan la existencia de "las expansiones decimales no definibles" ¡¡¡precisamente no aceptan la existencia de R!!!

    Por eso me ha sorprendido tu razonamiento, porque me parecio que antes querias defender la existencia del conjunto potencia de N a partir de la existencia de R.

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  24. eJECUCIÓN:
    me parecio que antes querias defender la existencia del conjunto potencia de N a partir de la existencia de R.
    No estoy "defendiendo" nada; simplemente expongo argumentos a favor y en contra.

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  25. Jesus,

    No estoy "defendiendo" nada; simplemente expongo argumentos a favor y en contra.

    Si, eso esta claro. Solo queria decir que, como argumento en defensa de la existencia de los subconjuntos de N, me resultaba raro porque apelaba al conjunto no menos discutible de los numeros reales.

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