EL TAMAÑO SÍ IMPORTA: LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO

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Recordaréis, tal vez, que en una entrada anterior hablábamos del "argumento de la diagonal" de Cantor, mediante el que demostraba que el conjunto de los números reales (los que pueden representarse mediante una parte entera y una lista infinita de decimales) es ESTRICTAMENTE MAYOR que el conjunto de los números naturales.

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(Alguno pensará: "¡pues vaya tontería!, ¡claro que es mayor!"; lo que pasa es que el conjunto de los números racionales -los que pueden expresarse como una fracción de números enteros, o, alternativamente, como un número con una parte entera y una parte decimal periódica- es ESTRICTAMENTE DEL MISMO TAMAÑO que el conjunto de los naturales, es decir, los números racionales se pueden CONTAR, pero los reales NO; la prueba -por Cantor- de que los racionales son contables la veis en la imagen primera: en el cuadro están TODOS los racionales, y la linea roja los va recorriendo TODOS -puede saltarse los repetidos, como 2/4 una vez que tenemos 1/2-, de forma que podemos ir NUMERÁNDOLOS: 1º el 1, 2º el 2, 3º el 1/3, 4º el 1/2, 5º el 3, 6º el 4, 7º el 3/2, etc.; de este modo, CADA número racional acabará teniendo en la serie un número de orden; ESTO, el dar un número de orden a cada número REAL, es lo que no se puede hacer, como vimos en la citada entrada que también demostró Cantor).

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Pues bien, llamemos N al TAMAÑO del conjunto de los números naturales (o, como dicen los matemáticos, su "cardinalidad"), y R al TAMAÑO conjunto de los números reales. Puesto que los números reales son los que sirven para representar una recta continua, a este último tamaño se le llama "la cardinalidad del continuo". (También se puede demostrar que hay la misma CANTIDAD de números racionales en un segmento finito de la recta -por "pequeño" que sea- que en TODA la recta; y que hay la misma cantidad de números reales en un segmento que en toda la recta).

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Un famosísimo problema matemático, todavía no resuelto, es el siguiente:

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¿Hay algún conjunto C, cuyo tamaño sea K, tal que N sea menor que K y K sea menor que R? O sea, ¿hay algún conjunto que sea MAYOR que el de los números naturales, pero MENOR que el de los números reales?

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Éste es el conocido "problema del continuo". La llamada "hipótesis del continuo" afirma que NO: el conjunto de los números reales es el conjunto infinito más pequeño que es mayor que el conjunto de los números naturales.

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Lo más curioso es que tanto esta hipótesis como su negación SON CONSISTENTES CON EL RESTO DE LOS AXIOMAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS (lo demostró Paul Cohen, el de la foto, el año que yo nací, y ganó por ello la medalla Fields; ¡hay que ver qué listos son estos judíos!). ¿Quiere eso decir que la teoría de conjuntos es insuficiente para determinar si ese conjunto C existe o no? ¿Quiere decir que la existencia de C no es verdadera ni falsa? ¿Quiere decir que hay diversas matemáticas -aritméticas, en este caso- alternativas, igual que hay geometrías alternativas? ¿Quiere decir que hay verdades matemáticas -p.ej., la existencia, o inexistencia, de C- que no seremos nunca capaces de demostrar?

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CONJUNTOS ARBITRARIOS

Ayer estuve en una charla de Pepe Ferreirós, especialista en historia y filosofía de la matemática, sobre la noción de "conjunto arbitrario", y fue de lo más interesante.

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Un conjunto es no-arbitrario cuando puede definirse mediante una fórmula o predicado, es decir, mediante un enunciado con una variable no ligada por ningún cuantificador ("el conjunto de todos los x tales que Fx", donde "Fx" es, p.ej., "x es un número primo"). Un conjunto arbitrario es, por lo tanto, un conjunto que NO puede ser definido mediante ninguna fórmula. Fijémonos, para mayor claridad, en los conjuntos formados por números naturales (es decir, si N es el conjunto de todos los números naturales, hablamos de los subconjuntos de N).

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¿Qué subconjuntos de N son arbitrarios? La respuesta es que casi todos:

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Como sabéis, llamando "A0" ("aleph-sub-cero", pero no voy a ponerme a buscar el símbolo "aleph") a la "cantidad" de números naturales (la "cardinalidad" de N), hay 2^A0 (dos elevado a A0) subconjuntos de N, cantidad que, curiosamente, es igual a la "cantidad" de números reales, o la cardinalidad del conjunto R (bueno, no tan curioso, como veremos en un momento), y 2^A0 es necesariamente mayor que A0. Un problema abierto de la teoría de conjuntos es si hay algún conjunto que sea mayor que N pero menor que R; que NO lo hay, es decir, que TODOS los subconjuntos de R tienen, o bien el mismo tamaño que N (son "infinitamente contables"), o bien el mismo tamaño que R (es decir, que 2^A0= A1) es la famosa "hipótesis del continuo".

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Pero, por otro lado, hay SÓLO "infinitamente contables" fórmulas construibles con un lenguaje finito, y por lo tanto, la cantidad de conjuntos no-arbitrarios (o sea, los definibles mediante esas fórmulas) es A0.

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Así pues, si N tiene 2^A0 subconjuntos, pero SÓLO A0 de esos conjuntos son definibles, resulta que hay 2^A0 - A0 (igual, naturalmente, a 2^A0) subconjuntos arbitrarios de números naturales.

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¿Cómo "identificar", o al menos, cómo "concebir" o "referirnos a" un subconjunto arbitrario de números naturales? Ferreirós mostró en su charla un procedimiento muy intuitivo. Imaginemos que representamos (como se hace normalmente) cada número real mediante un número decimal infinitamente largo; para simplificar, podemos pensar en los números reales comprendidos entre 0 y 1, todos los cuales tienen la forma 0,abcdefg..., donde cada letra es un dígito. Para simplificar más aún, supongamos que estamos escribiendo los números en notación binaria, de modo que los dígitos sólo pueden ser ceros o unos. Tenemos, por tanto, todos los números reales comprendidos entre 0,00000.... (que es 0) y 0,1111111...... (que es igual a 1). Los dígitos de la expansión decimal de uno de estos números (lo que va después de la coma) están ORDENADOS, es decir, podemos hablar del PRIMER decimal, el SEGUNDO decimal, el decimal TRICENTÉSIMO OCTOGÉSIMO CUARTO, etc., etc., etc.

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Pues bien, sea r un número cualquiera de esos (0,01001010001...), y consideremos un conjunto C definido de la manera siguiente a partir de r:

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C(r) es el conjunto de todos los números naturales n tales que n pertenece a C(r) si y sólo si el n-simo decimal de r es un 1.

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(En el ejemplo, C(r) contendrá el 2, el 5, el 7, el 11, y los números correspondientes a los demás LUGARES de la expresión decimal de r en los que halla un 1 en vez de un 0).

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Es fácil darse cuenta de que, puesto que entre 0 y 1 están TODAS las expresiones decimales POSIBLES (pues luego se repiten las mismas entre 1 y 2, entre 2 y 3, etc.), este procedimiento nos permite definir TODOS los subconjuntos de N.

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Ahora bien, ¿no es esto una paradoja? ¿No hemos definido así TODOS los subconjuntos de N, cuando habíamos dicho que la mayoría de ellos eran arbitrarios, o sea, indefinibles? Pues no: en realidad, la expresión en negrita NO es, por sí mismas, una DEFINICIÓN del conjunto C(r), pues para que lo sea, TODOS los elementos de la definición tienen que ser definibles mediante alguna fórmula, y no hay nada que garantice que el número r sea "definible" mediante una fórmula. P.ej., todos los números racionales son definibles (basta con decir cuál es la fracción a la que son iguales), y muchos (pero "sólo" infinitamente contables) de los irracionales son definibles (p.ej., muchos que son igual a la raíz cuadrada de un número natural, si ésta no es un número natural; p.ej., raiz de 2, raiz de 10, etc.), así como muchos números que son soluciones de ecuaciones. Pero SÓLO hay A0 números irracionales definibles así. La inmensísima mayoría de los números REALES no son definibles, es decir, no podemos dar una FÓRMULA con la que identificarlos, y por lo tanto,el conjunto C(r) (el conjunto de números naturales n tales que el n-simo decimal de r es un 1) no está, en realidad, DEFINIDO.

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Dicho de otra manera: prácticamente TODOS los números reales no podemos DECIR cuáles son (sólo podríamos decirlo ESCRIBIENDO su serie completa de decimales). Y eso mismo implica que prácticamente TODOS los subconjuntos de números naturales no podemos decir cuáles son.

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La pregunta obvia es, ¿EXISTEN esos números, y esos subconjuntos? Hay quienes dicen que no, que sólo existe en matemáticas aquello que se puede DEFINIR, y han mostrado que otras ramas de la matemática que habitualmente se fundamentan en la teoría de conjuntos pueden explicarse sin suponer la existencia de esas entidades. La mayoría de los matemáticos piensan que sí, que la existencia de esos números y conjuntos es algo incluso "obvio". Pero en la charla de Ferreirós quedó claro que no hay argumentos convincentes para ninguna de las dos posiciones (y no sólo tienen por qué ser esas dos).

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EMERGENCIA Y REDUCCIONISMO PARA DUMMIES

Que no suenen las alarmas: aquí el principal "dummie" soy yo, así que me gustaría que os tomaráis lo que sigue como un intento de aclararme yo las ideas a mí mismo. Por supuesto, mejoras, comentarios y precisiones se agradecen.

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En la primera figura, E representa todos los posibles estados de un sistema (da igual el sistema del que hablemos; lo importante es que cada punto del rectángulo representa la descripción de un posible estado de ese sistema). Por simplificar, me referiré a sistemas "dinámicos", es decir, en los que el estado puede variar con el tiempo, de modo que en cada instante, el sistema podría estar en un estado diferente (si queremos introducir el tiempo como una más de las variables que describen los estados, entonces cada punto no representaría un estado posible, sino una trayectoria posible; más sobre trayectorias enseguida).

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L es la ley del sistema, es decir, representa cómo cambian de hecho los estados del sistema (o mejor dicho, cómo cambia el sistema mismo con el tiempo); la ley dice, para cada momento t, cuál va a ser el estado en el que se encontrará el sistema en el momento t +1 (con tiempo discreto), o t+ dt (con tiempo continuo). Es importante tener en cuenta que L no son necesariamente las leyes que nosotros conocemos del sistema, sino cómo se comporta el sistema de verdad. También es importante tener en cuenta que la ley del sistema puede ser determinista o probabilista: si la ley es determinista, quiere decir que para cada estado del sistema (p. ej., X), habrá una línea y sólo una de estados consistente con L que sean aquellos por los que de hecho el sistema pasará si llega a encontrase en X; en cambio, si la ley es indeterminista, de cada estado X surgiría un "ramillete" de líneas, cada una con una probabilidad asociada (y cuya suma da 1), de modo que todas esas líneas son compatibles con L (aunque, naturalmente, sólo una de esas líneas terminará ocurriendo... salvo, tal vez, en sistemas como el de los "muchos mundos" de Everett, pero no entro en esos casos ahora). O sea, por simplificar: si la ley es determinista, entonces, dado que el sistema se encuentre en X en el momento t, sólo cabe un estado posible en el momento t+dt; si la ley es indeterminista, y el sistema se encuentra en X en el momento t, podría estar en varios estados distintos en el momento t+dt. (En la discusión posterior, de todas formas, no me referiré a este tema del determinismo o indeterminismo, y supondré, por simplificar, que L es determinista, aunque eso no cambia nada las conclusiones).

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Así pues, L(X,t) el estado en el que se transforma el estado X según la ley L en el tiempo t, si estaba en el estado X en el momento 0.
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En verde, y esto es lo más importante, se representan los subconjuntos de estados que pueden ser definidos utilizando los conceptos que usamos para dar una descripción completa de los estados X.
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Sea ahora S un subconjunto de estados del sistema; entonces definimos L(S,t) como el conjunto formado por todos los estados L(x,t) tales que x pertenece a S. Dicho de otra manera, si lo único que afirmásemos sobre el sistema es que en el momento 0 se encuentra en el conjunto S, no podríamos saber en qué estado de L(S,t) se encontrará en el momento t, pero podríamos afirmar que se encontrará en algún estado de ese nuevo conjunto.

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Ahora bien, lo importante es que no todos los subconjuntos de estados del sistema pueden ser definidos "utilizando los conceptos que usamos para dar una descripción completa de los estados individuales". Por ejemplo, el conjunto U del otro dibujo. Esto puede deberse a razones lógicas: si el lenguaje mínimo que se necesita para describir los estados es lo bastante complejo (p.ej., si es o contiene el lenguaje de la aritmética), entonces del propio teorema de incompletitud de Gödel se sigue que habrá conjuntos que no pueden ser definidos mediante una descripción finita. Pero, más a menudo, la razón en la práctica es que no tenemos ni pajolera idea de cómo dar una definición, o sea un conjunto de condiciones necesarias y suficientes en términos del lenguaje "básico" del sistema, de cuándo un estado se encuentra en el conjunto U, pero en cambio tenemos medios empíricos bastante sencillos y accesibles para determinar si el sistema se encuentra en el conjunto U o no (al menos, con un alto grado de probabilidad). P.ej., no tenemos ni idea de cómo definir el conjunto de estados en los que puede encontrarse un sistema de moléculas para determinar si ese sistema es una rosa o no, pero en cambio, lo podemos hacer a ojo sin mayor problema.

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Nuestro conocimiento empírico nos permite incluso, no sólo identificar si el estado se halla en U o no, sino también conocer bastantes cosas sobre la evolución temporal del sistema. Conocemos muchas leyes empíricas que nos permiten predecir que, si el sistema se halla en U en el momento 0, probablemente se hallará en U(t) en el momento t. Obviamente, si el sistema se halla en U en el momento 0, la verdad es que en el momento t se hallará en algún estado del conjunto L(U,t), pero no tenemos forma de averiguar cuál es ese conjunto a partir de la definición de U y de nuestro posible conocimiento de L (pues seguramente desconocemos justo ambas cosas, y aun si las conociéramos, tal vez sería imposiblemente complicado para nosotros el calcularlo). En cambio, si nuestro conocimiento empírico es realmente válido (aunque aproximado), los conjuntos U(t) y L(U,t) no serán muy diferentes (la magnitud de la diferencia L(U,t) - U(t) da la probabilidad de que nuestra predicción sea errónea). Obviamente, para muchos otros conjuntos U nuestro conocimiento empírico tampoco es para tirar cohetes, y las predicciones que podemos de hecho hacer sobre su evolución son poco fiables.

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Pues bien, podemos decir que la propiedad de "ser U" (o sea, estar en un estado que definiríamos como "U") es una "propiedad emergente" del sistema. Es una "propiedad" en la medida en que ser U sea útil para hacer predicciones empíricas (pues no a cualquier subconjunto de E querríamos homenajearle reconociéndole el título de "propiedad"). Y es "emergente" en el sentido de que no hay forma de definirla a partir de un conocimiento preciso de los estados que la componen.

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¿Quiere esto decir que U tiene "algo de especial"? ¿Se necesita asumir la existencia de "algún tipo de principios "adicionales" a los que describen la ley fundamental L, para explicar "por qué" ocurren cosas como lo que dice U y lo que podemos inferir de ello? No, y no. Por supuesto, es perfectamente posible que entre varios conjuntos como U formen una familia que nos permita formular una "teoría" sobre ese "nivel de realidad", teoría que, dada la irreducibilidad de los U a L, será ella misma "irreducible" (no la podemos inferir a partir de L), y eso puede hacer que ese "nivel de realidad" contenga inevitablemente elementos que debemos tomar como "irreducibles" (o sea, los admitimos porque los encontramos empíricamente, y no somos capaces de "explicarlos" a partir de algo más fundamental). Pero nada de ello implica que E sea algo más que la colección de todos los posibles estados del sistema, o que haya "algo más" que E.

LA FILOSOFÍA Y EL TESTEO DE CONDONES... digo de conceptos

[Tras la intensa discusión que estamos teniendo en la entrada sobre el concepto de "creer" (y, de paso, sobre "saber"), me ha parecido oportuno recuperar esta vieja entrada de hace casi tres años]

Las dificultades que he tenido para hacerme entender en las últimas entradas por parte de un alumno inteligente, como Ramón Álvarez, han traído a mi atención la imagen de la filosofía que, en mi opinión, mejor define la naturaleza de esta vieja y siempre peligrosa actividad intelectual: la de la filosofía como testeo de conceptos. Es la actividad que iniciaron los primeros filósofos griegos, pero que llevaron hasta sus más fantásticas piruetas los sofistas, y entre ellos, el gran maestro Sócrates; la del continuo preguntarse más allá de lo obvio, incluso en donde casi todo el mundo piensa que ya no hay nada que preguntar. (Luego vinieron Platón, Aristóteles, y sus secuaces en la caverna de los ladrones, creyéndose con la responsabilidad de tener una respuesta para cada pregunta, e iniciando con ello la otra rama de la filosofía: la aburrida).
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Lo que conocemos como "método socrático" (aunque sería mejor llamarlo "método sofístico") consiste básicamente en intentar sacar consecuencias (cuanto más aberrantes o anti-intuitivas, mejor) a partir de premisas aparentemente claras y "de sentido común" (cuanto más "de sentido común", mejor). Para ello es conveniente, y a menudo preciso, aislar aquellas premisas de las circunstancias por las que se ven rodeadas normalmente, y someterlas al experimento mental de ver qué se sigue de ellas cuando las introducimos en un entorno nuevo y extraño. Recordad lo que hizo Zenón de Elea: "todos vemos que avanzamos al correr, y ello no nos sorprende en absoluto, pero pensemos en las distancias que hay que ir recorriendo, en períodos de tiempo cada vez más cortos... !entonces resulta que...!".
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Con frecuencia, en estos experimentos mentales, los conceptos se estiran demasiado y se rompen, como los condones en las pruebas de tensión. O terminan hechos pedazos como los crash test dummies de las pruebas de choque de los automóviles. Pero no hay ningún concepto que tenga garantía de por vida.
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En la entrada anterior, y en otra reciente sobre Gaia, intentaba hacer lo mismo con el principio (común entre los ecologistas, bioéticos, y demás gente de mal vivir) de que "la biodiversidad es valiosa en sí misma". Y en fin, la hipótesis se descacharró...

EL POSITIVISMO ES UN HUMANISMO (5)

El positivismo es un humanismo (1)
El positivismo es un humanismo (2)
El positivismo es un humanismo (3)
El positivismo es un humanismo (4)

La segunda crítica tiene una respuesta parecida: la formalización de las teorías no es una conditio sine qua non para garantizar la objetividad de la ciencia, sino un ideal que conviene perseguir cuando existe alguna controversia teórica. La misma lógica contemporánea muestra que existen límites para la potencia demostrativa de cualquier sistema axiomático con el que pueda formalizarse al menos la aritmética elemental (este es el conocido teorema de Gödel), pero esos límites dejan también un amplísimo margen para la producción de argumentos objetivamente válidos. Por otro lado, el que los conceptos y las hipótesis tengan significados flexibles sólo demuestra que pueden ser modelados con cierta libertad (no son tanto de piedra como de arcilla), de manera que los científicos tienen siempre la opción de darles una forma más precisa en vez de una más difusa: cuanto más claramente esté delimitado lo que pretendemos afirmar con un concepto o una teoría, tanto más fácil será su crítica intersubjetiva. La axiomatización lógica de las teorías es, de nuevo, el límite de ese proceso de clarificación y discusión objetiva (y el continuo desarrollo de nuevas técnicas lógico-matemáticas, incluida la informática, permite cada vez más posibilidades en este sentido), pero para llegar a un acuerdo intersubjetivo, a menudo será suficiente con una formalización menos exigente, y a veces incluso sin ninguna formalización, sino empleando tan solo principios claramente definidos en el lenguaje cotidiano; y también como en el caso anterior, a veces ni siquiera una formalización estricta permitirá determinar una sola respuesta correcta.

Con respecto a la tercera crítica (la falta de atención del positivismo a los aspectos sociales de la investigación científica), hemos de recordar que, tal como hemos visto, la cuestión fundamental para el positivismo sería precisamente la de cómo debe organizarse socialmente la investigación para garantizar que sus resultados tuvieran la máxima credibilidad posible. Los viejos positivistas parecían defender, ingenuamente, que para ello bastaba con ordenar la práctica científica según unas reglas metodológicas bien fundadas, y que la propia honestidad de los científicos garantizaría que estas reglas iban a ser cumplidas. La cosa, empero, no está tan clara, pero esto sólo significa que es necesario estudiar con rigor las estructuras sociales de la ciencia; si dicho estudio llega a la conclusión de que estas estructuras son bastante eficaces en la producción de conocimientos objetivos, la tercera crítica carecerá de fundamento, y si no es así, el desafío para el positivismo será más bien el de utilizar las mejores herramientas científicas disponibles (por ejemplo, la disciplina económica conocida como "diseño de mecanismos"), junto con una buena dosis de sentido común, para proponer una reforma de aquellas instituciones científicas cuyo funcionamiento sea cognitivamente ineficaz. En este sentido, la respuesta es similar a la de las dos críticas anteriores: los propios resultados de la ciencia (entonces en ciencias cognitivas, lógica y matemáticas; ahora en sociología y economía) pueden servir para encontrar las bases más sólidas a nuestro alcance desde las que llevar a cabo una discusión objetiva de las teorías, aunque esa base no pueda ser nunca totalmente sólida. No otra cosa era, al fin y al cabo, lo que mantenían algunos neopositivistas, sobre todo Otto Neurath.

La cuarta crítica es seguramente la más popular, especialmente fuera del ámbito de la filosofía académica. En definitiva, la crítica consiste en la postura del perplejo ciudadano que no acierta a ver con claridad en qué se beneficia él de tan cuantiosas inversiones en investigación científica y tecnológica, y que sospecha razonablemente que, aunque el conocimiento otorgue poder, es más probable que él se halle entre las víctimas de ese poder que entre los beneficiarios. La respuesta a esta crítica debe partir del hecho indudable de que el conocimiento proporciona poder, pero esto puede hacerlo por dos razones diferentes: en primer lugar, quien conoce realmente mejor la manera como las cosas van a ocurrir, puede aprovechar ese conocimiento para dominarlas y dominar con ello a otras personas; en segundo lugar, quien consigue convencer a los demás de que posee mejores conocimientos, aunque no los posea de hecho, puede obtener también un cierto control sobre los convencidos (aunque no sobre las cosas que afirma conocer). Muchas formas de poder existentes a lo largo de la historia han sido de este segundo tipo: por ejemplo, la gente obedecía a la Iglesia porque aceptaban que ella tenía las llaves de la condenación y de la salvación. Pero la ciencia otorga poder fundamentalmente por la primera razón: algunos laboratorios farmacéuticos ganan fortunas porque muchas de sus medicinas curan efectivamente, y algunas empresas de comunicaciones consiguen un cierto control sobre la opinión pública porque los satélites artificiales transmiten sus programas efectivamente. En realidad, si la acumulación de poder técnico en algunas manos no les ha conferido automáticamente un poder político ilimitado, es porque otras manos, con intereses diferentes, también han conseguido incrementar su poder técnico, y no está siempre claro quién ha logrado más.

Así pues, aquellos que se plantean la importantísima cuestión de por qué la ciencia beneficia más a unos que otros, no deberían negar la legitimidad de esta otra pregunta: la de por qué la ciencia proporciona un poder tecnológico tan impresionante. La respuesta del positivismo la hemos visto ya: la ciencia lo consigue extendiendo la práctica del método experimental y del razonamiento lógico más allá de los ámbitos tradicionales de estos métodos. A la primera cuestión puede intentar dársele también una respuesta "científica", de nuevo a través de la investigación social y económica, pero lo más interesante será sin duda la respuesta "política": cómo hacer para que la ciencia beneficie lo máximo posible al mayor número posible de personas.

Pienso que sólo algunos místicos creerán sinceramente que la situación de los pobres del mundo mejoraría si la investigación científica y sus métodos fueran abandonados del todo. En cambio, si los ciudadanos de los países ricos nos empeñásemos en que nuestros gobiernos y nuestras empresas cambiaran el rumbo de sus respectivas políticas (por ejemplo, exigiéndoles que nos cobren unos altos impuestos para financiar investigaciones sanitarias útiles para los países pobres, o negándonos a comprar los productos de las empresas que explotan a los ciudadanos de esos países), podríamos obtener resultados políticos mucho mejores precisamente gracias a la ciencia.

Por otro lado, el hecho de que muchas decisiones políticamente relevantes se dejen de mano de "expertos científicos" puede conducir a problemas que cualquier positivista sensato admitirá. Por ejemplo, quienes emplean a esos "expertos" para persuadir al gobierno o a la opinión pública (sean las empresas tabaqueras, o las organizaciones ecologistas), necesitan que los científicos sean habitualmente creíbles, pues si no, ¿para qué contratarlos, si nadie les va a creer? De nuevo llegamos al problema de cómo organizar la investigación para que sus resultados tengan la máxima credibilidad posible. Por otra parte, lo que se critica a estos "expertos" es, en general, que enfocan de manera sesgada los problemas y que proponen soluciones tendenciosas. La respuesta obvia de un positivista es que, en tales casos, los científicos no habrán seguido un método cognitivamente eficaz, pues deberían haber tenido en cuenta los datos y las ideas que pueden proporcionar las otras partes en conflicto. Al fin y al cabo, ¿no se está presuponiendo que es preferible ser objetivo e imparcial, cuando se critica a los "expertos" por no serlo en grado suficientemente y cuando se asegura que los problemas deberían resolverse intentando manejar, entre otras cosas, los mejores conocimientos posibles?

Un cauto positivista añadiría, además, que en muchas ocasiones los mal llamados "expertos" lo son en cuestiones de las que, en realidad, no se posee casi ningún conocimiento verdaderamente objetivo, sino simples opiniones y visiones interesadas, adornadas con una retórica más o menos cientificista; esto ocurre para la mayoría de los llamados "problemas sociales", como -pongamos- el urbanismo, la educación, la política fiscal y otros tipos de delincuencia, pero también para muchísimas aplicaciones prácticas de la tecnología y de las ciencias naturales. En estos casos, el positivismo no debería utilizarse para dar cobertura retórica a los argumentos de unos y otros, sino más bien para denunciar el carácter casi exclusivamente ideológico de tales debates, y para mostrar con claridad lo poquísimo que realmente sabemos precisamente sobre muchos de los temas que más nos interesan.

LA PERSPICACIA DE WITTGENSTEIN

Tractatus logico-philosophicus, 6.1251:

"Por lo tanto, en lógica jamás puede haber sorpresas"

(Darum kann es in der Logik auch nie Überraschungen geben)

(cursivas en el original)

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Por no hacer mucha leña del árbol caído, no hablaremos del teorema de incompletud de Gödel, o de la prueba por Paul Cohen de que hay modelos de la teoría de conjuntos que no cumplen la hipótesis del continuo. Mencionaré sólo que, más o menos a la vez que el bueno de Ludwig escribía esto, se demostraba el teorema de Löwenheim-Skolem. Este teoremilla dice algo curioso, aunque aparentemente inofensivo: si un enunciado tiene un modelo de cardinalidad infinita K, entonces también tiene modelos de cardinalidad infinita K' y K'', para toda cardinalidad K' menor que K y K'' mayor que K.

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Lo grave es que este enunciado parece llevar a una paradoja: consideremos el enunciado E que consiste en una axiomatización de las propiedades de los números reales; sabemos que de ese enunciado se puede inferir la conclusión de que hay más números reales que naturales, es decir, que la cardinalidad K del conjunto de los números reales es estrictamente mayor que la cardinalidad del conjunto de los números naturales (al que diga "¡pues vaya bobada!", se le debe recordar que el conjunto de los números racionales tiene, en cambio, exactamente la misma cardinalidad -el mismo número de elementos- que el conjunto de los números naturales, y por tanto, hay menos números racionales que reales, ¡¡¡pese a que entre cada dos números reales hay infinitos números racionales!!!).

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Ahora bien, por el teorema de Löwenheim-Skolem, ¡¡¡el enunciado E tiene un modelo de la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales!!!., es decir, un modelo "infinitamente contable"). Es decir, los símbolos que forman ese enunciado (a partir del cual se puede demostrar que hay MÁS QUE INFINITAMENTE CONTABLES números reales), PUEDEN INTERPRETARSE TAMBIÉN como la descripción de un modelo que tiene el mismo número de elementos que el conjunto de los números naturales.

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¡Joder, para no haber sorpresas, ésta era de las gordas!

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PS: Algún listillo ya habrá pensado "es que Wittgenstein está hablando de la lógica, no de las matemáticas". A eso el mismo Luisito responde un poco más abajo (6.2): "La matemática es un método lógico").

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