7 de julio de 2009

CANTOR Y EL ARGUMENTO DE LA DIAGONAL


El más famoso argumento del creador de la teoría de conjuntos, Georg Cantor (1845-1918), consiste en la demostración de que el conjunto de los números reales tiene una tamaño (o "cardinalidad") mayor que el conjunto de los números naturales. El argumento, que fue publicado en 1891, es tremendamente sencillo, y procede por reducción al absurdo (ver):

Supongamos que el conjunto de todos los números reales comprendidos en un intervalo a, b (p.ej., los números mayores que 0 y menores que 1) fuese numerable, es decir, que se pudiera establecer una correspondencia uno a uno entre ese conjunto y el de los números naturales. En este caso, podríamos ordenar los elementos de ese conjunto de la manera siguiente:

a1 = 0, a1.1, a1.2, ..., a1.m, ...

a2 = 0, a2.1, a2.2, ..., a2.m, ...

...

am = 0, am.1, am.2, ..., am.m, ...

Podemos probar que existe necesariamente al menos un número, e, que no está comprendido en ese conjunto. Sea e un número comprendido entre 0 y 1 (es decir, su parte entera es 0), y para cada cifra n-sima en la parte decimal de e, elijamos un dígito que sea diferente de an.n. Obviamente, el número e será diferente de a1 al menos en el primer decimal, diferente de a2 al menos en el segundo decimal, diferente de am al menos en el m-simo decimal, etc. Por lo tanto, e no será igual a ningún número de la serie a1, a2, ..., am,..., luego la hipótesis de que esta serie contenía todos los números reales comprendidos entre 0 y 1 es falsa. En conclusión, el conjunto de los números reales en el intervalo (0,1), y por ende, el conjunto de todos los números reales, no puede ser proyectado mediante una relación biunívoca al conjunto de los números reales.

Posteriormente, Cantor demostró una generalización de este resultado, según la cual, para cualquier conjunto dado, C, el conjunto potencia de C (Po(C), el formado por todos los subconjuntos de C) tiene una cardinalidad o tamaño mayor que C (esto se conoce como “teorema de Cantor”). El resultado anterior es un caso particular de éste, pues la cardinalidad del conjunto de los números reales es igual a la del conjunto potencia de los números naturales. La prueba del teorema de Cantor también es muy sencilla: se trata de probar que, para cualquier conjunto C, y para cualquier función (f) que asigne a cada elemento de C un elemento de Po(C), existirá necesariamente algún elemento de Po(C) que no sea la imagen de ningún elemento de C según dicha función (o sea, cualquier proyección de los elementos de C en los subconjuntos de C dejará algún subconjunto sin correspondiencia, luego hay “más” subconjuntos que elementos). Para verlo, definamos el conjunto V como el conjunto de todos los elementos e de C para los que e Ï f(e). La pregunta es, ¿hay algún elemento t de C tal que T = f(t)? Comprobemos que no: o bien t Îf(t), o bien t Ï f(t); si ocurre lo primero, como por hipótesis T = f(t), tenemos, por la definición de T, que t Ï f(t) (en contradicción con lo que hemos supuesto en este primer caso); si ocurre lo segundo, entonces, por la definición de T, tendremos de manera análoga que t Îf(t). Así que, si existiera un elemento tde C tal que T = f(t), llegaríamos inevitablemente a una contradicción. (Esta construcción es el antecedente histórico de la paradoja (ver) de Russell, pues permite mostrar que no existe necesariamente cualquier conjunto que creamos poder definir).

Por lo tanto, el conjunto potencia de C siempre tiene más elementos que el conjunto C, incluso cuando C es de cardinalidad infinita. Esto implica, a su vez, que podemos definir, a partir del conjunto de los números naturales, N, una serie infinita de conjuntos: Po(N), Po(Po(N)), Po(Po(Po(N))), etc., de tal modo cada uno de ellos tendrá un tamaño infinito mayor que el anterior.

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69 comentarios:

  1. Vaya, yo tenía pensado dedicarle una entrada justo al tema de los infinitos. Aprovecho que ya lo haces tú para dejar unos comentarios:

    -Hay quien dice que Cantor se volvió loco por darle vueltas a esto de los diferentes infinitos. Murió, como es sabido, en una clínica psiquiátrica.

    -Una de las consecuencias más interesantes de este argumento es que no existe el "conjunto de todos los conjuntos". Demostración: el conjunto de las partes de ese conjunto sería un conjunto también, pero no puede estar incluido en el conjunto de todos los conjuntos antes definido por ser de cardinalidad mayor que él. Contradicción.

    -Un corolario de lo anterior es que, en lógica, la palabra "todo" o sus aledaños "omnipotente", "omnisciente",... no tienen sentido hasta que no se define el conjunto al que se refiere el "todo", si no, no están definidas y fácilmente serán contradictorias.

    -Lo anterior explica lo que le lleva pasando a la metafísica (y a la teología) un par de miles de años... y siguen sin enterarse.

    -Para muestra, véase lo que dice Hegel y comento en

    http://todoloqueseaverdad.blogspot.com/2009/04/al-monte-se-va-con-botas-o-si-tuviera.html

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  2. ¿Podría Jesús (Cristo) fabricar un burrito tan picante que ni Él mismo podría luego comerse... y seguir presumiendo de omnipotente?

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  3. Freman, hombre de poca fe: claro que puede, pues es todopoderoso. Es lo mismo que su poder de estar en todas partes y en ninguna al mismo tiempo. La fe mueve montañas, la ciencia no.

    PaPá Noél

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  4. Pero si no se lo puede comer luego, entonces ¡no es omnipotente! Y si se lo puede comer, entonces no puede hacer lo que dice el enunciado del problema.

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  5. Precisamente estos días ando leyendo un libro de entrevistas a René Thom, el de la teoría de las catástrofes ("Parábolas y catástrofes" se llama precisamente),y dice cosas la mar de negativas de Cantor y otros, en plan de que esto de los infinitos jerarquizados es una tontería barroca que no lleva a ningun lado, una construcción tipo paja mental (no son citas literales, que este señor es muy francés y muy formal).
    Me ha dejado muy sorprendida, pero realmente no sé qué trascendencia tienen los infinitos de Cantor en las matemáticas. También aprovecha el pollo para dar leña a la teoría de conjuntos, a Bertrand Russell y creo que a Gödel está a punto de empezar a darle también.
    ¿Es que la topología es una provincia independiente del reino matemático, o es que efectivamente todas esas meta-teorías matemáticas sobre conjuntos e infinitos no llevan a ningún lado?

    Como todavía estoy leyendo el libro no sé quien es el asesino y quien es el bueno, espero que expliquen mejor el argumento más adelante. Cualquier spoiler sería bienvenido.

    PS.- Me falta base, me falta base... si ya lo sé.

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  6. Un libro interesante


    The Infinite (Problems of Philosophy Their Past and Present) A W Moore



    En el blog de libros

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  7. Los infinitos son importantes para la teoría de la medida y ésta para el cálculo integral y éste para el cálculo de probabilidades.

    En otras palabras, sin saber en qué infinito estamos no sabremos asignar bien las probabilidades, y esto es fundamental para todo tipo de modelos científicos. No porque la naturaleza sea así, que tal vez sea discreta y finita, sino porque, a menudo, se trabaja mejor con modelos en los que las variables pueden toman infinitos valores.

    Por ejemplo, no podemos establecer una manera de elegir un número entero al azar en la que todos los enteros tengan la misma probabilidad de ser escogidos, pero sí podemos hacerlo con los números reales del intervalo que hay entre el cero y el uno, a pesar de que en ambos conjuntos haya infinitos números.

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  8. El infinito no existe.

    Jules Henri Poincaré exclamaba hablando del infinito y la nada: "¿Es posible razonar sobre objetos que no pueden ser definidos en un número finito de palabras? ¿Es posible aún hablar de ellos y saber que lo que hablamos tiene algún sentido? ¿O por el contrario, deben ser considerados inconcebibles? Para mí, no dudo en considerarlos mera nada".

    Si Einstein no hubiera formulado la Teoría de la Relatividad en 1905, Poincaré lo habría hecho en 1906. ¡Huyyyyy! Por poco. Ahora hablaríamos de la T. de la Relatividad de Poincaré. Un genio, por cierto.

    J
    osé
    M
    anuel

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  9. Esta demostración de Cantor y la demostración que hizo Euclides sobre la existencia de una cantidad infinita de números primos, son clásicos de la demostración por reducción al absurdo.

    Gracias por traerla a colación, es algo que no deja de asombrarme.

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  10. Jesús, José Luis:

    Espero que sepáis responder a este argumento constructivista contra el razonamiento de la diagonal de Cantor. Yo no sé.

    La cosa va así.

    Todo número el cualquier base puede expresarse en base binaria. Expresemos así todos los números en el intervalo [0,1] en base binaria representando en una tabla las partes decimales


    00000000...0
    10000000...0
    01000000...0
    11000000...0
    00100000...0
    10100000...0
    11100000...0
    00010000...0
    10010000...0
    11010000...0
    11110000...0
    .
    .
    .
    11111111...1


    Está claro que no hay ningún número diferente de éstos pues no se puede expresar ningún otro. Pero al escoger según la regla de la diagonal de Cantor un número que sea diferente en la cifra a sub n,n, los números de la diagonal son CEROS, por lo que el número escogido sería todo UNOS, que es el último número posible de la lista, 0,111...1 equivalente a 1.

    Luego no hemos podido escoger un número no recogido en la lista como quería Cantor.

    surscrd

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  11. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  12. Perdón, la lista debería ser


    00000000...
    10000000...
    01000000...
    11000000...
    00100000...
    10100000...
    01100000...
    11100000...
    00010000...
    10010000...
    11010000...
    11110000...
    .
    .
    .
    11111111...

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  13. Sursum corda!

    No hay nada peculiar en elegir la base dos o la base 10 para representar los números. De la misma manera podías decir que estabas listando todos los números, pero la demostración te dice que eso no puede ser verdad.

    El problema del argumento es listar como último elemento al 111111.... La idea de la lista es asociar el primer número al número uno, el segundo al dos, ... hasta asociar un número a cada número natural, pero entonces no habrá un último número en la confección de la lista (el infinito no es un número). Si eliminas el 1111.... de la lista y sólo dejas la regla de cómo se escribe el número siguiente tendrás de nuevo el argumento de la diagonal.

    Pero incluso si te empeñas en poner el 1111.... al final (entendiendo que has elegido ponerlo ahí arbitrariamente y que en medio pondrás infinitos, nadie te manda coger los dígitos de la diagonal. Puedes coger el primer dígito del segundo número, el segundo del tercero, el tercero del cuarto,... y cambiarlos, claro, según la lista que has dado te quedará:

    00111.....

    Ese número no estará en la lista.

    O, incluso, ese que has puesto de último yo lo paso al primer lugar (no pasa nada, la lista lo sigue incluyendo) y hago el argumento diagonal en la nueva lista (que solo difiere en el orden de un número). El número que no está será ahora el

    011111....

    En el camino verás que no puedes definir un algoritmo finito para generar el siguiente número de la lista que tienes en mente (creo).

    J
    osé
    M
    anuel:

    Es posible que en la realidad no existan infinitas cosas (partículas elementales, p.e.), pero el concepto de infinito (los varios) existe perfectamente definido en los modelos matemáticos.

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  14. José Luis:

    En la crítica que he expuesto y que hago mía sólo en la medida en que no veo dónde falla, se trata, en primer lugar, de la prueba de la diagonal de Cantor y por eso se escogen las cifras de la diagonal. Evidentemente se podrían escoger bajado dos y subiendo uno, de manera que siempre se escogiera de cada columna pero en un orden diferente de filas. La idea es escoger un número de cada columna y de cada fila y generar un número que tiene al menos una cifra diferente de cualquiera de los de la lista. Pero tomemos el procedimiento de Cantor, que es el más sencillo.

    En segundo lugar, he expuesto el ejemplo con números binarios porque creo que simplifica el problema para quien te responde a que si ves un uno pones un nueve con que pongas un siete. El ejemplo, con cifras decimales sería idéntico:

    000000...
    100000...
    200000...
    (...)
    900000...
    010000...
    110000...
    (...)
    990000...
    001000...

    La cuestión es disponer todos los números posibles en un cierto orden que determine cuál es el siguiente de la sucesión y esa sucesión está bien determinada.

    En tercer lugar, está claro que en los números reales no se puede establecer el criterio de sucesor como en los naturales y por eso el criterio de la sucesión es disponer los números de alguna manera especificada. En la demostración de Cantor de que la cardinalidad de los racionales es la misma que la de los naturales dispone los racionales

    1/1 1/2 1/3 ... 1/n

    2/1 2/2 2/3 ... 2/n

    ...

    m/1 m/2 m/3 ... 1/n

    y va tomando por las diagonales sucesivas en sentidos alternos.


    Pero si respetamos el máximo de la demostración de Cantor nos vale el procedimiento tal como lo expliqué antes.

    sigue->

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  15. Aloe: Todo el mundo tiene opiniones; lo fundamental es darse cuenta de que esas opiniones son el reflejo de la experiencia y los gustos de cada uno, y no pretenden (o no deberían pretender) sentar cátedra.

    Ignoro las opiniones de Thom; pero el hecho de que Thom sea o haya sido más mediático que Fulanito o Menganito no hace que sus opiniones estén mejor ni peor fundamentadas que las de ellos.

    Te puedo decir que la teoría de conjuntos es, hoy por hoy, el lenguaje en que se enseñan y se escriben la inmensa mayoría de las matemáticas. Al mismo tiempo, la inmensa mayoría de los matemáticos no tienen la formación para entender un artículo de investigación en teoría de conjuntos ya no de hoy sino de 1970 ó quizás 1950.

    Es un poco como decir que todos nosotros hablamos español, sin que por ello entendiéramos una conversación técnica entre dos filólogos. De ahí a que alguien salga diciendo que la filología es una paja mental y que nos entendemos perfectamente sin ella, sólo hay un paso.

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  16. sigue->

    En cuarto lugar, si tomamos el intervalo cerrado [0,1] es obvio que el primer número será 0 = 0,0000...periódico y el último 1=0,1111...periódico. Esto no es arbitrario, pero no importa el orden sino que 0,111...periódico pertenezca al intervalo. Y pertenece.

    Luego si escogemos la diagonal formada por ceros y los cambiamos por unos, tenemos un número que pertenece al conjunto.

    Sigo sin ver algo que falle ahí.

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  17. José Luis:

    Iba a responder lo mismo que tú a José Manuel. Tenemos las pruebas más simples del infinito: que no hay un número natural mayor que cualquier otro, pues si éste fuera n, n+1 sería natural y mayor que el anterior; o que no hay un número primo mayor que ninguno, como demostró Euclides.

    Nuestra confusión está en que creemos que un número existe si lo imaginamos, pero nos basta la definición. Para entender que √2 tiene infinitas cifras no necesitamos contarlas sino probar que no es un número racional.

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  18. Sursum, la cuestión es la siguiente. Aunque ya ha dicho lo mismo José Luis, a lo mejor ha quedado un poco oscurecido por las otras cosas que decía.

    Intentamos ver si los números reales tienen la misma "cardinalidad" que los naturales, es decir, si existe una forma de emparejar cada número real con un número natural de forma que no sobre ninguno.

    Para demostrar que eso no es así, lo que se hará es suponer que sí es así y llegar a una contradicción (esto creo que lo tienes claro).

    "Suponer que sí es así" significa suponer que hay una forma de emparejarlos, es decir que a cada número real le corresponde un natural, y viceversa. En las listas que presentas, hay números reales a los que no se les hace corresponder ningún natural, concretamente aquellos que están después de unos puntos suspensivos.

    Al poner puntos suspensivos quiere decir que entre el "antes" y el "después" de ellos pones infinitos números, con lo que agotarías todos los números naturales y aún te quedarían números reales sin asignar, por lo que esa "ordenación" tuya incumple la condición de emparejar los dos conjuntos uno a uno.

    Hay que tener en cuenta que la idea que se suele contar a nivel divulgativo de hacer una "lista" o "tabla" tiene una ambigüedad que no existe en el concepto matemático de una "biyección", por lo que mucha gente se queda pillada en algún pliegue del significado de esas palabras del lenguaje común.

    Espero que haya quedado más claro, en caso contrario sigue preguntando.

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  19. Pedro Terán:

    Se trata, como bien dices, de emparejar, de establecer una correspondencia biunívoca entre elementos de un conjunto y de otro. Así, a cada número natural corresponde un número par, por lo que decimos que la cardinalidad de los pares es la misma que la de los naturales.

    Pero al exponerlo gráficamente debemos poner puntos suspensivos sin que ello afecte a nada. Si no, alguien diría que cuando voy por el natural un millón uno aún quedan infinitos números pares sin emparejar.

    Si ves la prueba de que la cardinalidad de los racionales es la misma que la de los naturales podrías decir lo mismo: hay infinitos racionales que aún no hemos asignado y que se reflejan en unos puntos suspensivos, pero lo claro es que tomamos todos los racionales en un orden sin dejar uno y ese orden se empareja con el de los naturales.

    Ahora bien, hemos escrito una sucesión en la que a cada número real entre 0 y uno le sigue otro, como en el caso de los racionales. sigo sin ver la diferencia.

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  20. Sursum corda!

    Si te das cuenta, los puntos suspensivos que has puesto en el ordenamiento de los racionales indican posiciones que faltan y que están indexadas por números naturales. Las filas van de 1 a n (natural) y las columnas de 1 a m (natural). No podrás hacer nada parecido con la pretendida lista de números reales. Es decir, que aparezca un índice de números naturales que indique cuáles son los números que faltan para rellenar los puntos suspensivos. No valen argumentos que no sea dar con el índice.

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  21. José Luis:

    Con los números racionales, el número que está en la intersección columna 1111 con fila 11001 es el 11001/1111. Pero lo interesante es que dispuestos así forman una secuencia emparejable con los naturales por diagonales.

    En el caso de los reales, en la fila 11001 con la columna 1111 estará el número 0,1001100...0... y por lo tanto será un 0. También lo interesante parece ser que los dígitos también están determinados y que si creamos un numero que difiera por la diagonal tendremos un número que sabemos que pertenece al intervalo y es su extremo superior.

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  22. Sursum corda!

    Eso te parece, pero por favor, dame los índices que me permite seguir la regla, como los índices n y m me permitían hacerlo en el caso de los racionales. Verás que no puedes. En realidad, necesitarías infinitos índices, y unos puntos suspensivos más para poder referirte a ellos. Es como su estos nuevos puntos suspensivos te abrieran otra dimensión en la lista, de manera que no podrías contar los elementos de la lista, porque esos puntos suspensivos te sacan de la lista. Todo esto último es bastante metafórico, pero en esencia viene a decir: show me the index!

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  23. Antes ponías otto neurath en google y aparecía "a bordo del otto neurath" como segundo enlace. Ahora no aparece en la primera página de enlaces. ¿Será debido a las vacaciones y por tanto al menor número de visitas?

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  24. [...] "Nuestra confusión está en que creemos que un número existe si lo imaginamos, pero nos basta la definición. Para entender que √2 tiene infinitas cifras no necesitamos contarlas sino probar que no es un número racional".

    Comprendo lo que decís, José Luis y Sursum. Pero para comprender la relación hay que ver su antogonista, de dónde sale el axioma: de la potenciación. No exite un número racional que multiplicado por sí mismo de como resultado dos. Y es que la matemática es una inmensa tautología. Muy útil pero aproximada, así son nuestras matemáticas.

    Los axiomas geométicos no son ni juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales, sino un sistema de convenciones rigurosamente formulado, una idealización construida por el hombre para interpretar su experiencia y sostenida por él mismo mientras sirve al objeto para el que fue construida.

    Saludos!!!


    J
    osé
    M
    anuel

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  25. José Manuel:
    es una contradicción decir que la matemática son tautologías (cosa que admito... más o menos), y decir que son aproximadas. Las tautologías, POR ser tautologías, son EXACTAMENTE VERDADERAS, no "aproximadas".
    .
    Sursum:
    la lista que das tiene truco:

    1= 00000000...
    2= 10000000...
    3= 01000000...
    4= 11000000...
    5= 00100000...
    .
    .
    .
    x= 11111111...

    Con esta lista, después de CUALQUIER cantidad finita de números que hayas añadido (aquí, sólo hemos puesto cinco), siempre tendrás algún número en cuya expresión decimal, después de un número FINITO de lugares decimales, habrá una serie INFINITA de ceros Y NADA MÁS. Así que, UTILIZANDO ESTA REGLA, NUNCA podrás escribir un número que no tenga una serie INFINITA de ceros al final.
    .
    Ahora bien, un número cuya expresión decimal acaba en un patrón que se repite indefinidamente, es un número RACIONAL. Así que la regla que das para escribir "todos" los números decimales entre 0 y 1, en realidad NO TE PERMITE ESCRIBIR ningún número irracional.
    Por lo tanto, tu regla no permite escribir TODOS los números comprendidos entre 0 y 1.

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  26. Sigue apareciendo A bordo del ON como segundo enlace en Google.

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  27. Jesús:

    En efecto, el truco consiste en imaginar dados los infinitos ceros al "final" mientras imaginamos un número finito de dígitos al principio.

    Pero el constructivista te responde que según bajas en la lista, el número de dígitos del principio tiende a infinito y ahí tendrás una sucesión de dígitos infinita cualquiera, 1111... entre ellas.

    Y si niegas que tenga sentido una lista infinita hacia abajo te responde que tendrá el mismo que una lista infinita hacia la derecha en la que estén determinados los dígitos de todas las columnas posibles. Así, por ejemplo, si cualquier número de una lista hacia abajo tiene un número infinito de ceros y un número finito de dígitos significativos al principio, habrá un número de una columna con infinitas columnas a su derecha de valores no determinados. Y si obtienes una sucesión de unos hasta la columna n te responde que podrás encontrar un número hacia abajo con el mismo número de unos para una columna m que sea igual que todos los números de n cifras.

    Aparentemente el concepto de infinito conduce a muchas paradojas, como que un círculo de radio infinito sea idéntico a una recta tangente en cualquiera de sus puntos.

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  28. Sursum:

    que el número de dígitos al principio TIENDA a infinito no tiene ninguna relevancia. Lo importante es que, con la REGLA DE CONSTRUCCIÓN que tú das para formar la serie, para TODO n, el enésimo miembro de la serie es un número RACIONAL, y por lo tanto, TODOS los miembros de la serie son números racionales. Es más, ni siquiera llegas a construir TODOS los números racionales (p.ej., el número 10101010101010... NO ESTÁ en tu lista, no puedes llegar a construirlo NUNCA).

    Naturalmente, no "niego que tenga sentido una lista infinita hacia abajo". Lo que digo es que la lista CONSTRUIDA CON TU REGLA no incluye TODOS los números comprendidos entre 0 y 1, A PESAR de que es infinita.

    Piensa en esta serie:

    n(sub1)= 1/2
    n(sub2)= n1+ 1/(2^2)
    .
    .
    n(sub-m)= n(sub-m-1)+1/(2^m)

    También es una serie INFINITA de números racionales, comprendidos entre 0 y 1, pero no están ahí TODOS los números de ese intervalo (p.ej., no está el 0,6).

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  29. Jesús:

    Es obvio que una sucesión o una serie acotadas de infinitos términos no tienen por qué tomar todos los valores reales del intervalo entre el valor menor y el mayor.

    Pero si te parece un objeción que sucesivos números racionales no agoten la recta real, tampoco los números naturales son infinitos pues cualquier número entero es finito. NO HAY un número entero que sea el infinito.

    En el argumento de la diagonal se asume que HAY infinitos números de infinitos dígitos, PERO que es posible crear un número que no esté en la lista. ¿No es eso lo que se debía demostrar? ¿No se puede asumir que, si hay infinitos números, cada uno se diferencia de los demás en un dígito como mínimo y que si se cambia un dígito se crea un número ya existente en la lista?

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  30. Sursum corda!

    En el argumento de la diagonal se asume que hay tantos números reales como números naturales y se muestra que siempre te quedará algún número real fuera de la lista. Esta contradicción muestra que el número de números reales (infinitos) es mayor que el de números naturales (infinitos) y que, por tanto, el infinito de los reales es mayor que el de los naturales.

    En cambio, tu argumento sí que parte de lo que quiere demostrar. Tú asumes que, en los puntos suspensivos te caben todos los reales y concluyes que te han cabido, pero no muestras que, de verdad te caben en los puntos suspensivos.

    Para mostrar eso tienes que responder a mis objeciones y a las de Jesús. Por ejemplo, en el ordenamiento de los números racionales tú puedes decir, para cualquier racional, qué lugar exactamente ocupará en la lista. Esto no lo puedes hacer en tu lista con el número que te propone Jesús, el 101010101010..., ni con los que te señalaba yo, el 0111.... o el 0011111..., ni, en general con ningún número irracional.

    Es decir, en tu lista no cabe NINGÚN número irracional. Es más, no están tampoco muchos de los racionales, como el 1/3.

    Si crees que no es verdad, dime dónde están. Si, por otra parte, consigues mostrar dónde está cada real en tu lista (show me the index!) te garantizo el premio Abel o la medalla Fields (como el Nobel de matemáticas, vamos). Esto último me gustaría más que tener razón.

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  31. José Luis:

    Repites el planteamiento del argumento de la diagonal:

    "En el argumento de la diagonal se asume que hay tantos números reales como números naturales y se muestra que siempre te quedará algún número real fuera de la lista"

    No veo que se muestre que queda un número real fuera de la lista porque se podría concluir de la manera contraria: que al tratar de crear un nuevo número que se diferencie en un dígito de cada número de la lista no es posible porque todos los números reales YA están en la lista, que es lo que hemos asumido al principio.

    Expresar los trascendentes como algebraicos sólo es posible como sumas infinitas de términos, cosa que nos lleva a que siempre queden términos por escribir. Entonces, al tratar de probar que hay elementos a(sub n)/(10^m) diferentes de otros estamos hablando de elementos indexados de manera finita.

    Lo que está demostrado es que los números reales no están ordenados por sucesión pues entre cada dos números reales está el número que es media aritmética de los dos. Todas las conclusiones vienen de ahí pues entre cada dos puntos reales hay "el mismo" número de puntos que en la recta real. Pero es algo parecido a la indeterminación en el límite de 2x/x cuando x tiende a infinito.

    Los números que Jesús y tú ponéis como ejemplo no pueden estar en ninguna posición finita de una lista así formada porque requieren infinitas operaciones, al igual que infinito nunca estará en la lista de los naturales ni cero en los racionales. Y del mismo modo, carece de sentido que haya un entero anterior a infinito, ni anterior al anterior. porque no hay un simple cambio cuantitativo sino de concepto.

    Pero si se asume que hay una lista de infinitas columnas y filas, como la de la diagonal de Cantor se puede asumir que en ella están todas las posibles combinaciones de dígitos y habría que probar que no es posible.

    De todos modos, te recuerdo, que el anterior no era MI argumento sino un argumento constructivista y que yo creo que lo que tenemos son sólo conceptos, como √2 o 1/3, que son los números tales que elevado al cuadrado da dos o que multiplicado por 3 da 1, aunque no podamos construirlos a base de infinitas operaciones de sumas de fracciones de diez.

    Pero creo que hablar de infinitos sin precaución es añadir demasiada palabrería a la matemática. Por ejemplo, al decir que la cardinalidad de los pares es la misma de los naturales NO estamos diciendo que HAYA los mismos naturales que pares. Eso es un ABUSO. Decimos simplemente que se puede emparejar cada n con 2n. O, en general, cada n con m.n pero NO cada n con n.n cuando n tiende a infinito.

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  32. Sursum, vamoavé:
    .
    El argumento de Cantor no puede ser más sencillo de ENTENDER (es una reducción al absurdo de las de toda la vida): A) supongamos que hemos emparejado CADA número real del intervalo (0,1) con un número natural; B) el número que consiste en sustituir el enésimo decimal del número real emparejado con n, por un decimal distinto, NO estará emparejado con ningún número natural; C) por lo tanto, la hipótesis A lleva a una contradicción ("hemos emparejado todos los reales del intervalo con un número natural, y hay un número en el intervalo que no está emparejado con ningún número natural"). Por lo tanto, la hipótesis A NO PUEDE ser verdadera (si lo fuera, tendríamos esa contradicción).
    .
    Lo que tú sugieres es "elegir" que el paso mal dado es el paso B. Pero eso no es algo que esté en nuestra man "elegir": el número que definimos en el paso B es un número NORMAL Y CORRIENTE, y está PERFECTAMENTE DEFINIDO (bueno, en cada PASO de su construcción hay nueve posibilidades, pero podemos quedarnos con un algoritmo sencillo: si x es el enésimo decimal del enésimo número de la lista, ponemos x+1 (y si x=9, ponemos 0)).
    .
    Dices: "si se asume que hay una lista de infinitas columnas y filas, como la de la diagonal de Cantor, se puede asumir que en ella están todas las posibles combinaciones de dígitos y habría que probar que no es posible. "
    PUES ESO ES LO QUE HACE EL ARGUMENTO DE CANTOR: lo que hace es PROBAR que no es posible poner en una LISTA (o sea, asociando a un elemento el número 1, a otro el número 2, y así sucesivamente) TODOS los números reales.
    .
    El resto de tus argumentos no tienen relación alguna con lo que se pretende demostrar en la demostración. Eso sí, estoy de aceurdo en lo último: no pretendo hacer una lectura ONTOLÓGICA del argumento de Cantor; no es necesario suponer que existe un REINO PLATÓNICO donde existan los números y sus parientes para admitir que determinadas proposiciones matemáticas son verdaderas y otras falsas.

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  34. Sursum corda!

    Si están todos, no puedo construir uno distinto que no estaba. Si puedo construir uno que no estaba es que no estaban todos.

    Sobre lo primero (están todos) sólo tenemos una hipótesis. Sobre los segundo (puedo construir uno distinto) tenemos el hecho de que hemos podido construirlo. Por tanto, lo que debemos negar es la hipótesis de que estaban todos.

    No sé adónde quieres llegar con eso de que entre dos reales siempre hay otro real. Lo mismo puedes decir de los racionales, y nada de lo anterior pasa para ellos, que se pueden contar.

    Lo que hacen las matemáticas con el ordenamiento de los grados de infinito es justamente hablar de los infinitos con el cuidado que se merecen, y con el cuidado con que se puede.

    Claro que decir que hay tantos números positivos pares como números naturales es una manera de hablar, pero es la única manera de hablar consistente. Para mostrar que es la única, pon en un lado el conjunto de naturales y en otro los pares:

    {0,1,2,3,...]
    {0,2,4,6,8,...}

    Uno está tentado a decir que, en un sentido claro, hay más enteros, puesto que el conjunto de los pares está contenido en el de los naturales, pero no al revés.

    Ahora coge el conjunto de los pares y "disfraza" a sus elementos (el conjunto no cambiará el número de elementos, solo que no sabemos quienes son). Así, al 2 disfrázalo de a, al 4 de b, al 6 de c,..., tendrás el siguiente conjunto:

    {0,a,b,c,...}

    Si te dan este último conjunto, no tienes manera de decir que es "menor" ni "mayor" que el de los naturales.

    Llegados a este punto, lo único que tienes es la regla por la cuál se generan los elementos de cada conjunto (y puedes dar la regla con la que has generado el conjunto disfrazado sin delatar la identidad de sus elementos, diciendo, al primero lo dejo igual, al segundo le pongo una a, al tercero una b,...), y resulta que las reglas que generan el conjunto de los naturales y de los pares (y de los cuadrados perfectos, y de los racionales) se rigen por un índice que recorre los números naturales. Esto no pasa con los irracionales.

    Si emparejamos n con n.n en cada término, lo hacemos cuando tiende a infinito, por supuesto (por definición).

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  35. Jesús:

    Si entender se entiende y, en particular, yo LO ENTIENDO. Pero no estoy conforme con la conclusión. No estoy conforme con que se diga que se ha construido un número real y que es distinto de los de la lista.

    Si tienes una lista

    00
    10
    01
    11

    En cualquiera de las diagonales de cualquier cuadrado formado tendrás alguno de los números de la lista. si haces una lista de números de tres cifras te sucederá lo mismo, si lo haces con n cifras, igual y lo que no veo razonable es que al tender a infinito el número de cifras se diga que no.

    Si nos referimos a cuadrados, entonces es obvio porque en cualquier cuadrado así formado hay números posibles y que no están construidos, pero es que hablamos de un proceso de construir números llevado al límite. O yo lo entiendo así y no de ninguna otra manera.

    No podemos hablar del infinito como hablamos de números finitos porque el infinito no es OTRO número sino un concepto límite, fuera del conjunto.

    Insisto en que leáis el libro que os he puesto, en especial capítulos 8 y 9. Muy interesante la crítica de Wittgestein.

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  36. But Cantor’s work was by no means universally acclaimed. Two and a half millennia of mistrust and suspicion are not overcome as easily as that. For example, his teacher, the German mathematician Leopold Kronecker (1823–1891), displayed life-long hostility to his work and acrimoniously opposed him in a variety of ways, for example by trying to block his publications.29 Kronecker had a kind of Pythagorean belief that the natural numbers were the only ‘real’ mathematical objects, and any mathematics that was not ultimately concerned with them was, like Cantor’s work, so much ‘mathematical nonsense’. ‘God made the integers;’ he famously said, ‘all the rest is the work of man.’30
    Again, the French mathematician Henri Poincaré (1854–1912) described Cantor’s work as ‘a perverse pathological illness that would one day be cured.’31 He challenged Cantor’s claim to have proved that was bigger than . Cantor’s proof could just as well be taken to establish merely that we could not devise a way of pairing off the natural numbers
    This, incidentally, was something urged by the American philosopher and mathematician C.S.Peirce (1839–1914). He had independently discovered that there was no way of pairing off the natural numbers with the real numbers, but he concluded that did not exist as a completed whole. At most it existed as something potentially infinite. However many reals had been actualized, there were always more waiting to be. A continuum, he argued, was precisely not just a set of points. It was something absolute, consisting of unactualized possibilities, cemented together in a way that defied description but of which we were aware in experience. This ties in with various currents of thought noted in the last chapter, in connection with the ‘metaphysically small’.33


    Cap 8 pags 121-122

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  37. 3 Wittgenstein

    Ludwig Wittgenstein (1889–1951) was an Austrian who spent much of his life in England. For me he stands with Heidegger as one of the two giants of twentieth-century philosophy. It is customary to divide his work into two phases, and, despite profound continuities between the earlier phase and the later phase, this is entirely apt. (It is said that one of the things that initiated the later phase, by reawakening his interest in philosophy after a long period of philosophical inactivity, was attending a lecture by Brouwer on the foundations of mathematics.) I shall be making special use of his earlier work in Part Two (see below, Chapter 13). But the main focus of this section is his later work, which included much on the topic of infinity.

    One of the ideas that dominated his later work was that the meaning of a word was a matter of how it was used. Words were like tools. To grasp a concept was to be clear about the use of the words and phrases governing it. As soon as words were wrenched from their proper use and mishandled, (needless) philosophical perplexity arose. For it became possible to frame all sorts of pseudo-questions which posed as philosophical problems but which, in the nature of the case, we did not have the wherewithal to answer. For example, we could imagine mishandling a phrase like ‘the average parent’. While it makes good sense to say, ‘The average parent has 2.4 children,’ it does not make sense to say, ‘The average parent is expecting another child.’ A philosophical ‘problem’ might arise about what would happen to all ordinary parents if the average parent found herself (himself? itself? theirselves?) expecting another child. Once we returned to the proper use of the phrase, and thus to a correct grasp of the concept, this ‘problem’ would be dissolved. Wittgenstein saw something similar in traditional discussion of the infinite.

    He believed that the correct use of terms such as ‘infinity’ was to characterize the form of finite things and, relatedly, to generalize about the endless possibilities that finite things afford. (We shall see more clearly in a little while what this amounts to.) It was incorrect to apply such terms directly to what we encounter in experience. And it was incorrect to use them to describe anything as being actually infinite. So, for example, we could say that there were infinitely many numbers. But this must mean that however many numbers we had counted we could always count more (and not, so to speak, because there was no last number, but because the phrase ‘last number’ made no sense.12) Again, we could say that space and time were infinite. But this must mean that it was part of the form of a spatiotemporal object to have various unlimited possibilities of movement: however far such an object had travelled, there would be space and time enough for it to travel still further. There was no question here of an ‘infinite reality’.13 So too we could say that space was infinitely divisible. But this must mean:

    Space isn’t made up of individual things (parts)…[It] gives to reality an infinite opportunity for division.14

    (Not that any empirical issues were thereby being prejudged. Wittgenstein was only talking about what made sense.)

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  38. To describe something as actually infinite, then, was not just a mistake. It was a mishandling of the language. It was like saying, ‘The average parent is two months pregnant,’ or, ‘It is 5 o’clock on the sun.’15 And it was Wittgenstein’s belief that once this fact was properly cognized, then philosophical perplexity about the infinite would at last be dissipated. A good example was the perplexity surrounding the paradox of the divided stick. For Wittgenstein, there was an incoherence in the very setting up of this paradox; no genuine situation had been described. It made sense to say, ‘This stick is infinitely divisible.’ It did not make sense to say, ‘This stick is (has been) infinitely divided.’16 Moreover, if we did say, ‘This stick is infinitely divisible,’ it was important that we should be clear about precisely what sense it made. As we saw in our discussion of Aristotle, such sentences are ambiguous. To construe it in the wrong way (as meaning that a situation could be brought about in which this stick was divided into infinitely many pieces) was to start mishandling the language again, reopening the possibility of ill-begotten philosophical conundrums. What it meant was that however much the stick had been divided it could always be divided more.

    Relatedly, we had to resist the idea that infinity was something like a natural number, only much bigger (so that, for example, three was somehow closer to infinity than two). For proper uses of ‘infinity’ were very different from proper uses of ‘two’ or ‘three’. Even if it made sense to say that a path was infinitely long, it made a very different kind of sense from saying that the path was three miles long. An infinitely long path was, as Aristotle would have said, a path that could never be traversed—that is, a path with no end, not a path with an end infinitely far away. Again, an infinite set was a completely different kind of thing from a set with three members. ‘Set’ was hardly even univocal in the two cases.17

    Many of Wittgenstein’s conclusions were reminiscent of those of his great predecessors. Aristotle too would have found the wrong construal of ‘This stick is infinitely divisible’ unintelligible. Kant would have licensed various claims about the inifinite whole, but then insisted that we be clear about what sense they made: they were to be understood as injunctions (involving a regulative use of our Idea of the infinite whole) and not as ordinary assertions. But the way Wittgenstein arrived at his conclusions, that is via careful scrutiny of the use of words, was in fact as reminiscent of the medievals as of anyone. It called to mind the categorematic/syncategorematic distinction, an item of essentially grammatical categorization. Wittgenstein himself was for ever talking about the ‘grammar’ of words, when appealing to their proper use. It was almost as if he was saying, or was committed to saying, that the ‘grammar’ of ‘infinity’ meant that it could be used only syncategorematically.

    But what about its use in mathematical contexts? What about ‘Cantor’s paradise’?

    Wittgenstein felt very strongly that it was not his business, as a philosopher, to interfere with mathematical practice.18 His task was carefully to observe mathematical practice, to gain a clear view of how mathematical expressions were used, and then, where appropriate, to try to combat their misuse.

    Did he then have to regard Cantor’s work as sacrosanct, or at least as immune to philosophical criticism?

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  39. Not exactly. For one thing, mathematics was not a completely isolated discipline. Mathematical treatment of the infinite was not, and could not be, independent of its treatment in other contexts. In any case, as we saw when looking at the early history of the calculus, it is not impossible for mathematicians themselves to mishandle their own apparatus and to import conceptual confusion into their own discipline. This raised a problem of circularity, though. How was Wittgenstein to know what to observe in the first place? Being able to distinguish between cases of legitimate mathematical practice and cases of mathematicians themselves going astray seemed to require the very discernment that was supposed to be acquired by observation of legitimate mathematical practice. If this circularity was not to be vicious, Wittgenstein did after all need to approach mathematics with a degree of humility. This, I think, helps to explain an ambivalence in his attitude to Cantor’s work. On the one hand he felt pressure not to challenge this work in any way. That, for better or worse, was what mathematics was now like. On the other hand his own views concerning the infinite meant that he did not like the tenor of the work at all. Still, there was a perfectly reasonable way out for him. What he did was to let the work stand but to remonstrate strongly against certain attitudes towards it. He was struck by Hilbert’s view, shared by many, that Cantor had created a mathematical paradise. For Wittgenstein, Cantor’s work could just as well be seen in a quite different light. ‘Imagine set theory’s having been created by a satirist,’ he wrote, ‘as a kind of parody on mathematics.’19

    But it was not principally at Hilbert’s attitude that Wittgenstein took umbrage. It was at an attitude quite foreign to Hilbert, though prevalent elsewhere, namely that transfinite mathematics served to describe a kind of super-physical landscape with all its bumps and nooks and crannies, populated by objects of various different sizes. This attitude was very much Gödel’s for example. Gödel did not express it exactly like that. But he did have a robust sense of mathematical reality. In a discussion of Cantor’s unanswered question about the size of , the question that Hilbert took himself to have settled but only by a kind of fiat, Gödel said that we perceived mathematical objects in something like the way in which we perceived physical objects; certainly they were just as real, and Cantor’s question was a genuine question about something quite independent of us, not a question to be settled by fiat.20 This whole view of mathematics was an anathema to Wittgenstein.

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  40. Wittgenstein believed that when we scrutinized transfinite mathematics, what we saw was a variety of formal techniques, proof-procedures, and the like, but this, in a sense, was all there was to it. There was no ‘landscape’ being described. There were no ‘objects’ being perceived. And certain ways of couching the results were to be deplored insofar as they encouraged the idea that there were. ‘The dangerous, deceptive thing about the idea: [‘ is bigger than ’]…,’ he wrote, ‘is that it makes the determination of a concept…look like a fact of nature.’21 Similarly, he was highly suspicious of the kind of account of the relationship between real numbers and rational numbers that I gave above in Chapter 4, §2, whereby real numbers were seen as filling the ‘gaps’ between rationals.22 By the same token, there was, for Wittgenstein, nothing mysterious or transcendent about transfinite mathematics, any more than there was about chess, or noughts and crosses. There was a kind of heady pleasure that we got from discovering that some infinite sets were bigger than others, like the pleasure of discovering that space was curved—what Wittgenstein would have called a ‘schoolboy’ pleasure.23 This had to be resisted. There was nothing more to the diagonal proof than the technique actually set down on the page (that is, the technique for specifying a sequence of digits different from all those listed); and there was nothing more to the result than to the proof.

    Uses of ‘infinity’ and related terms were quite straightforward. We had to learn to take them at face value. For instance, the three dots in 0, 1, 2,…

    were not an abbreviation for something too long to write down. They were themselves part of the mathematical symbolism with a perfectly precise, specifiable, unmysterious use.24 The symbolism seemed puzzling and enigmatic only when we tried to look beyond it to what it was pointing to. It was not pointing to anything. It was the mathematical reality.

    One very important consequence of these views was that Wittgenstein, like Brouwer, wanted to challenge the idea of an infinite co-incidence. Attention to the ‘grammar’ of generalizations about infinite totalities, based on close inspection of the relevant mathematical techniques and proofprocedures, revealed that the idea of an infinite co-incidence was unintelligible. What gave a true generalization about (say) its meaning was that we could recognize a proof of it. (We were seduced into thinking otherwise by the false picture of a determinate mathematical landscape out there, independent of what we could or could not prove about it.)25

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  41. It was here that Wittgenstein felt prepared to question standard mathematical practice—to see mathematicians as mishandling their own apparatus. For, like Brouwer, he believed that they made assumptions that they were not entitled to make once the idea of an infinite co-incidence had been rejected. They assumed, for example, that unless every natural number had a given mathematical property, there must be a counterexample.

    As we can see, Wittgenstein’s route to these intuitionist conclusions was quite different from Brouwer’s. Something that helps to reinforce this point is the work of the English philosopher Michael Dummett (born 1925). Dummett has done as much as anybody to show how broadly Wittgensteinian considerations about language and meaning can sustain conclusions very like those arrived at by Brouwer, though in a way that runs directly counter to much of what Brouwer himself believed. This is an apt point at which to begin our discussion of current thought about the infinite.26

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  42. Sursum corda!:

    Fíjate en el argumento constructivista. Por una parte dicen no reconocer nada que no se haya construido, por otra parte aplican un argumento a unos objetos que no han construido (la lista de los reales ordenada). Dicen: he aquí una lista infinita, yo no creo en ella, porque no la puedo construir, pero tú, que sí crees en ella, debes aceptar que ahí están todos con tus propios argumentos acerca del infinito.

    Esa es una falacia, puesto que el matemático normal (el no constructivista) dirá: según mi modelo, que no necesita construirlo todo para definirlo, no están todos los números reales en tu lista. No están todos, puesto que no puedo mostrar dónde está este que digo que falta. Es más, puedo mostrarte que cualquier número de la lista es distinto del que yo digo que no está.

    Al constructivista le debería sonar sensato decir que algo que no puede mostrar dónde está y que es distinto a todo lo que está, pues sencillamente no está. Sin embargo, para insistir en que sí está, muestra un argumento no constructivista, a saber, que con los puntos suspensivos (sin siquiera indexar los números para hacerlos construir según una regla definida) se permite el non sequitur de decir que sí estaba.

    En otras palabras: para aceptar el argumento constructivista habría que ser menos constructivista que los no constructivistas y dar por hechas cosas que ni se han esbozado.

    El no constructivista, en cambio, no da una regla para la lista. Los asume todos y CONSTRUYE el que no está para llegar a una contradicción. El costructivista NO CONSTRUYE la lista y dice que están todos. ¿Por qué? no lo sé.

    Te repito: fíjate en la manera en que sí CONSTRUIMOS la lista de los racionales y lo distinta que es de la supuesta lista de los reales del constructivista. En la primera podemos saber EXACTAMENTE en qué lugar está cualquier número racional que quieras. En la otra no sabemos dónde están más que unos pocos números (todos racionales).

    ¿No te indica esto que hay algo fundamentalmente distinto en estas dos listas? ¿Quieres obviar todo esto y decir que "algo" pasa cuando pasamos del finito al infinito que te permite hacer el argumento constructivista?

    Por otra parte, me he leído estos párrafos (no todos, lo confieso) que nos has mandado, y no veo qué aportan al argumento. Los matemáticos de la época y algunos filósofos tenían problemas con el infinito. ¿En qué cambia el argumento?

    En torno a eso, debemos tener claro que las ideas de las matemáticas, el modelo, está en nuestras mentes, números incluidos. Que un palo no sea infinitamente divisible en la realidad no impide que en nuestro modelo matemático un segmento lo sea. ¿What's the big deal?

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  43. Sursum:
    la teoría de conjuntos ha recibido muchas críticas, pero no se trata de errores técnicos tan burdos como el tuyo.
    Lo que tú haces es IMAGINAR que el proceso de rellenado SISTEMÁTICO de posibles series de ceros y unos (p.ej., el que se usa en las tablas de verdad), que es SISTEMÁTICO cuando tenemos un conjunto finito de lugares, SIGUE SIENDO SISTEMÁTICO cuando tenemos un conjunto INFINITO (o sea, que APLICANDO ESE MÉTODO ESCRIBIREMOS TODOS LOS NÚMEROS POSIBLES).
    Te he demostrado ya que no (sólo escribes números racionales), pero tú, erre que erre.
    En fin, si tienes algún otro argumento, lo discuteré; el de la tabla de verdad infinitamente larga, por mí está contestado.

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  44. Jesús:

    Pues si tratamos de calcular una integral como suma de infinitos polígonos dentro o fuera de una curva vamos apañados porque cualquier suma es finita.

    Y si tratamos de concebir un número real como una sucesión de Cauchy también vamos dados porque como nunca será infinita nunca será igual al número real.

    Podemos demostrar que el
    área del circulo es π.r^2 si suponemos inscritos infinitos triángulos de altura r y base que tiende a cero, pero no debe de ser posible si la suma siempre es finita. Nunca se tratará de un círculo sino siempre de un polígono.

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  45. Sursum, pero es que NO es lo mismo. En los ejemplos que tú pones, lo que hacemos es definir una serie y calcular el LÍMITE al que tiende esa serie. Pero es que, tal como defines tú el proceso de generación de la serie, no hay ningún "límite" ni nada parecido; son dos construcciones matemáticas totalmente distintas.

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  46. Jesús:

    Lo que yo digo es algo bien distinto y es que me parece absurdo tratar de diferenciar dos números reales por un dígito situado en una posición infinita. Así que me da igual si la tabla se construye como Cantor o como el constructivista.

    Desde luego no parece posible listar los números reales en el sentido de emparejar un número real con un número natural tal como Cantor hace con los racionales y eso es lo único que tiene sentido.

    La idea del constructivista era que si era posible listar los números reales era posible agrupar los que tenían un número finito de dígitos distintos de cero al principio y dejar ceros por encima de la diagonal, con lo que o se suponía que 1 no pertenecía a la lista o se había demostrado que no era posible encontrar un número diferente cambiando los dígitos de la diagonal.

    Mi opinión, REPITO, es que no podemos diferenciar los números reales a partir de una lista sino de su definición. Es como la disputa absurda de si 0,9...periódico es IGUAL a uno o aproximadamente igual a uno.

    Siempre hay alguien que dice que una lista infinita de nueves no es idéntica a uno, pero no es sumando fracciones como probamos la identidad sino que sea lo que sea la serie de nueves

    x = 0,99...

    10x - x = 9x = 9,99... - 0,99... = 9

    Lo que podemos hacer son operaciones con números bien definidos.

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  47. Y, por cierto, el argumento original está en

    http://www.btinternet.com/~sapere.aude/page2.html#ca

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  48. Sursum:
    dices " no parece posible listar los números reales en el sentido de emparejar un número real con un número natural tal como Cantor hace con los racionales". ¡Eso es lo que DEMUESTRA Cantor: que no es posible!
    .
    .
    me parece absurdo tratar de diferenciar dos números reales por un dígito situado en una posición infinita". Aquí esta toda la raíz de tu error: NINGÚN número tiene NINGÚN dígito "en una posición infinita". Todos los números, racionales o irracionales, tienen sólo "posiciones finitas" (lo que tienen es INFINITAS posiciones finitas, pero cada una de ellas está en un determinado sitio AL QUE SE PUEDE LLEGAR CONTANDO TRAS UN NÚMERO FINITO DE PASOS).

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  49. Jesús:

    Y te sigo diciendo que el argumento de la diagonal no me convence mientras no se conteste la siguiente cuestión. Lo que quiero decir aquí es que no parece posible encontrar un algoritmo que empareje un número real con uno natural del mismo modo que n con mn o los racionales con los naturales.

    Si vamos recorriendo el número resultante de cambiar los dígitos de la diagonal encontraremos infinitos números que son idénticos a ése hasta cualquier posición finita y se diferencian en los siguientes.

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  50. Sursum:
    el problema es que no entiendes lo que está PRESUPUESTO en la prueba de Cantor. Tú CREES que lo que Cantor dice es "supongamos que tenemos un ALGORITMO que empareja cada real con cada natural", y lo que dice REALMENTE es "supongamos que hemos emparejado -con un algoritmo o como sea- cada real con cada natural".

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  51. Jesús:

    Eso lo he entendido desde el principio. Cantor no supone que exista tal algoritmo sino que dada cualquier lista en cualquier orden de los reales emparejados con los naturales construye su tabla.

    Con lo que NO ESTOY DE ACUERDO es con que al crear el número a partir de la diagonal se cree un número que no está en la lista sólo por el hecho de decir que se cambia un número de cada posición. La dificultad es que en una lista finita el número resultante de cambiar los dígitos de la diagonal no está en la diagonal del cuadrado superior (porque la lista se alarga por abajo con todos los demás posibles) pero está más abajo si se ha creado la lista completa.

    En una lista infinita tales distinciones carecen de sentido pero, a mi juicio, eso invalida también el argumento de decir que se ha creado un número distinto de los listados. Será de los listados hasta cada punto finito, pero queda mucho hasta el infinito, cosa que me parece un parloteo metafísico.

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  52. Perdón, quise decir

    no está en una fila del cuadrado superior (el abarcado por la diagonal, cosa que en una lista infinita pierde su sentido, INSISTO)

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  53. Sursum corda!

    Has ido al monte sin botas, y vas a hacer caso a una página web que habla sin poner las pruebas donde pone la boca.

    ¿Qué es eso de que en una lista infinita las cosas no tienen sentido? Te hemos dicho de todas las maneras posibles que en unas listas infinitas podemos decir unas cosas y en otras no. A veces pareces aceptar esto, pero luego vuelves a manejar el infinito para hacerle decir lo que quieres pero no lo que dicen los matemáticos.

    Me he metido en la página web que referencias y no parece un constructivista, sino un creacionista de las matemáticas y de la física. Va creando argumentos según le da la gana en matemáticas, en física confunde las dos versiones de la relatividad de Einstein, en fin, mala compañía para ir al monte.

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  54. O sea, Sursum, que es una tontería decir que 0,111111.... multiplicado por 5 es igual a 0,555555555.....
    Puesto que son números infinitamente largos, puede que al hacer la operación salga algo que no es un cinco en algún lugar "más allá del infinito".

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  55. Jesús:

    Tú tienes más nivel que para decir eso, que no viene a cuento de ninguna manera. Reconocerás lo que has escrito como una falacia... mmm ¿cómo se llama la del que exagera la postura del contrario para descalificarla una vez desfigurada sin afectar a la postura sin desfigurar? Bueno, pues ésa.

    Y aprovechado que Valladolid pasa por encima del Pisuerga, diré que no multiplicamos infinitos. Por ejemplo si te pido que multipliques 0,222... por 0,999... no te llevará una infinidad de tiempo sino que multiplicarás cantidades finitas

    (2/9)*1

    y asunto arreglado.

    Vuelvo a explicar mi postura, por si sirve de algo.

    No podemos andar operando con infinitos ni infinitésimos si nos llevan a indeterminaciones y debemos eliminarlas convirtiendo la operación en finita en el punto deseado. Así y = 2x/x cuando x tiende a infinito se queda en una simple (y llana) recta y igual a 2 en todo x. No operamos con los infinitos primero sino que los eliminamos y nos quedamos con una relación determinada entre cantidades finitas.

    Así calculamos los límites y, con ellos, las derivadas e integrales. Porque en cualquier caso el profesor le pediría al alumno que elimine las indeterminaciones. Sólo que en este caso, el alumno le pide al profesor que trate de eliminar infinitos.

    Ya he explicado que yo sólo veo la cuestión como una tabla con n columnas para los dígitos y m filas que serán la base de la numeración elevada a n. En cualquier base, para n columnas habrá 10^n filas y EN ELLAS estarán, por definición, TODOS LOS NÚMEROS que se pueden escribir en esa base con tantos dígitos como columnas.

    Bien que tú lo veas de otra manera, pero ésta es la que yo uso. En general, cuando se explica la diagonalización de Cantor se escribe un cuadrado, pero ¿por qué un cuadrado y no una tabla de 10^n por n que es lo que parece corresponder?

    Y si no podemos contar los número reales que quedan en la diagonal y los que quedan por debajo, QUE ES A LO QUE YO ME REFERÍA EN LA RESPUESTA ANTERIOR, ya que EN UNA TABLA INFINITA CARECE DE SENTIDO que queden números en una fila más baja que cualquier dígito de la diagonal, me parece que sólo tiene sentido hallar una relación entre cantidades finitas y tender al límite. Por eso el procedimiento de la diagonal no lo veo nada claro.

    Jugando con infinitos se pueden hacer más trampas que al trile con los incautos. Por ejemplo, se expone el tema del infinito con el ejemplo del hotel de infinitas habitaciones. Llega un huésped y las encuentra todas llenas, pero no importa: el servicio de habitaciones pide a los clientes que se desplacen de su habitación n a la n+1 y milagrosamente aparece la habitación libre.

    Sólo que en la clase de matemáticas vas a explicarle a profesor que usando una suma infinita de ceros, cero es igual a uno.

    0 = 0

    0 = 0 + 0 + 0 + ...

    0 = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ...

    y por las propiedades de la suma

    0 = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + ...

    0 = 1 + 0 + 0 + 0 +...

    y te suspende porque así no se suman series.

    No parece que el argumento tiene la misma gracia si se trata de hoteles de infinitas habitaciones o de sumas infinitas, por lo visto.

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  56. José Luis:

    Está muy bien el cuento del matemático sin botas, pero tampoco hace al caso.

    El tipo de la página y otros por el estilo no son muy recomendables por sus razonamientos, pero puede que uno de sus ejemplos sea válido. ¿O caemos en otra falacia que dice que el que se equivoca en algo significativo se equivoca en todo?

    Me remito a la respuesta anterior para Jesús.

    Creo que usar infinitos sin precaución nos lleva a tonterías como la de la suma infinita de ceros. Y, después de todo, no creo que la interpretación de la cardinalidad de los conjuntos que hace Cantor y sus seguidores afecte a la Matemática si tenemos en cuenta lo que se dice y no lo que se interpreta. Igual cardinalidad significa SÓLO que hay una biyección que empareja los elementos de un conjunto con los de otro, n con 2*n y basta.

    El resto, de infinitos más grandes o más pequeños me parece palabrería porque le sugiere otras cosas al que no está en el tema.

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  57. Sursum:
    es que lo que tú IMAGINAS que estamos haciendo es coger CUADRADOS de n x n e ir haciéndolos más grandes "hasta que tienden a infinito".
    Y no, no hacemos eso. Lo que decimos es: sea A una serie INFINITA NUMERABLE de expresiones decimales de números; A está formado por infinitos miembros (no n tendiendo a infinito), o sea, tantos como números naturales, y cada miembro es una serie infinita de dígitos (no una serie finita que tiende a infinito).
    Y a partir de ahí CONSTRUIMOS un número que no está en la serie (sustituyendo el decimal n-simo (sea x) del número n-simo por (x +1, y 0 si x=9).
    .
    De verdad que soy incapaz de ver qué es lo que no entiendes, y soy incapaz de ver EN QUÉ TE BASAS para AFIRMAR (y no sólo SUPONER) que tu construcción de cuadraditos que tienden a infinito ABARCA TODOS LOS NÚMEROS, cuando es de cajón que no (sólo contiene números racionales, y no necesariamente todos). Puesto que tu procedimiento es algorítmico, tendría que haber una fórmula para saber en qué lugar de la serie está pi (o su parte decimal). Calcúlamelo, anda, y luego seguimos.

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  58. Sursum corda!:

    Lejos de mi querer usar un argumento ad hominem, pero creo que si tuviera razón ya estaría su argumento publicado en alguna buena revista de matemáticas, por lo menos.

    El argumento de la diagonal de Cantor no hace ningún salto al infinito como los argumentos para definir y calcular límites. El único argumento lógico que tienes que aceptar es el siguiente

    "Si un elemento cualquiera de un conjunto tienen una propiedad, entonces todos los elementos del conjunto la tienen."

    Coge un elemento cualquiera de la lista y verás que tiene la propiedad de ser distinto del construido para el argumento. Ni siquiera tienes que haberlo construido enterito (si temes caer en algún truco del infinito), basta con construirlo hasta donde haga falta para mostrar que no es ese cualquiera que has elegido en la lista.

    Ya está. No hay trucos de saltarse al infinito ni nada parecido.

    (En su defecto, podemos hacer el argumento con la inducción matemática: "Si es cierto para n=1 y, si, siendo cierto para n-1 lo es para n, entonces es cierto para todos." ¿No tendrás problema con esto, verdad? nota: n recorre los naturales en la inducción matemática)

    El argumento con el 11111 al final sí emplea el truco de saltar al infinito (y lo hace sin botas y sin red, y por eso lo hace mal). Es ese argumento el que no te debe gustar si temes que te engañen con los infinitos.

    Hay muchas paradojas (falsas) matemáticas con límites que consisten en hacer caber un infinito en otro (sin que se note). Este es uno de esos casos.

    La paradoja sería: por una parte se dice que el límite es 1111... (sin demostrarlo, claro, solo diciendo que es "evidente que es así"), pero por otra, podemos ver qué pasa con el límite de cada dígito. Si te fijas, a medida que avanzas en la lista, hay tantos unos como ceros. Lo mismo en las demás posiciones tras un número finito de ceros. Es decir, que el límite de las proporciones entre ceros y unos es 1/2 para cada dígito.

    Esto quiere decir que el límite NO ESTÁ DEFINIDO. Esto no quiere decir que puedas poner cualquier cosa, quiere decir que no puedes poner ninguna.

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  59. ¿Definen algun elemento matematico los caracteres 3.1415927.........?

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  60. Jesús y José Luis:

    No veo que avancemos mucho así. Os voy a hacer preguntas y espero que me respondáis brevemente, a ver si cambia la cosa.

    Según la nomenclatura de Cantor, a la cardinalidad de los naturales se la llama Alef sub cero y según la hipótesis del continuo la cardinalidad inmediatamente mayor es la del conjunto de los potencia de los naturales, que es dos elevado a la cardinalidad del continuo, dos elevado a alef sub cero, cardinalidad denominada alef sub uno, y que es la cardinalidad del conjunto de los reales.

    Por otra parte, dos conjuntos son de igual cardinalidad si es posible establecer una relación uno a uno, biyectiva, entre los elementos de cada conjunto. Entre el conjunto de los reales y el de los naturales, de cardinalidad estrictamente mayor el primero que el segundo, no se puede establecer tal biyección.

    Primera pregunta. ¿Es correcto exponerlo así?



    (la palabra de verificación ha sido

    stalin

    vaya con el azar)

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  61. Sursum:
    creo que sí.
    .
    Por cierto, la hipótesis del continuo ES UNA HIPÓTESIS; si no recuerdo mal, tanto esa hipótesis como su negación (o sea, la tesis de que hay algunas cardinalidades menores que la del continuo, pero mayores que la de los naturales) son LÓGICAMENTE CONSISTENTES.

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  62. Jesús:

    En cuanto a la hipótesis de continuo, eso es lo que he leído: que tanto su afirmación como su negación más los axiomas ZFC son ambas consistentes.

    Pero veamos ahora. Si tenemos un conjunto infinito y numerable, es decir, con alef sub cero, la cardinalidad de N, el conjunto potencia de ese conjunto formado por todos sus subconjuntos tendrá la cardinalidad de 2 ^alef sub cero.

    Ahora las preguntas: si tenemos un conjunto infinito y numerable de monedas ¿cuál es la cardinalidad del conjunto de todos los resultados de las tiradas? ¿Será ese conjunto numerable?

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  63. Se me ha adelantado Jesús, pero confirmo que, efectivamente, dos conjuntos son de igual cardinalidad si es posible establecer una relación uno a uno, biyectiva, entre los elementos de cada conjunto.

    A la pregunta acerca de las posibles tiradas de un número infinito contable de monedas, la respuesta es que no, que tendrá la cardinalidad del continuo.

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  64. Vaya, parece que todos nos fuimos de vacaciones.

    ¿Tiene esto interés para que lo sigamos?

    La idea de las preguntas era que si concebimos un infinito como algo dado nos metemos en problemas conceptuales. Al concebir, por ejemplo, la tabla de infinitos dígitos (columnas) parece que debemos asumir que tiene 2^n números (filas) por lo que imaginar una diagonal implica imaginar una correspondencia uno a uno entre filas y columnas, cosa que no parece posible si la cardinalidad de las columnas es n y la de las filas es 2^n.

    ¿Lo hemos pasado bien?

    Saludos.

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  65. Sursum:
    ¡claro! Lo que ocurre es que la prueba consiste en que, primero, SUPONEMOS que el número de filas y el de columnas es igual (o sea, igual a la cantidad de los números naturales), y eso nos lleva a una contradicción, por lo tanto, la coclusión es que el número de filas es MAYOR que el número de columnas.
    .
    Por otro lado, prefiero evitar usar un concepto como el de "algo dado". Cuanto más lo pienso, menos lo entiendo. El de infinito numerable e infinitos mayores me parece mucho más claro y nítido.

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  66. Jesús:

    Aquí estoy entretenido leyendo los comentarios a tus últimas entradas y sopesando si contestar yo algo. Luego veré.

    Precisamente lo de considerar la tabla "cuadrada" y "terminada" con infinitas filas y columnas es lo que menos me gusta de la prueba. Ya lo dije arriba: creo que no podemos establecer una correspondencia biunívoca entre naturales, o enteros, y reales, pero que al pensar en que hemos listado todos los reales, con sus infinitos dígitos, quedamos autorizados para pensar que hemos construido una lista tan amplia como para dar cabida a los 2^n números binarios de n dígitos.

    Y lo peor para mi gusto es imaginar que tenemos una tabla de tamaño infinito, con sus filas y columnas y no un proceso de construcción de números tal que de ninguna manera por un algoritmo finito podemos construir un número real tras otro y completar todos.

    Insisto en que veo paradójico pensar en que tenemos números de infinitos dígitos sin pensar que se forman todos los números posibles con esos dígitos.

    Lo del infinito como algo dado es pensar que REALMENTE ESTÁN todos los puntitos reales infinitesimales en la recta. Los infinitesimales en el calculo sólo eran una aproximación que se aclaró con conceptos como punto de acumulación y límite. Tampoco veo la utilidad de ver imaginar puntitos como números reales sin un proceso análogo en el que un número real como π es un limite de una serie que sólo usa números enteros.

    Sigo con lo de la moral cristiana, a ver si lo que quería decir no se ha dicho ya.

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  67. Que, por cierto, parece el listado de los infinitos números reales en forma de comentarios. ¡Qué fecundidad!

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