8 de noviembre de 2011

SI-ENTONCES-ISMO Y EXISTENCIA MATEMÁTICA


Existe una forma de permanecer escéptico sobre la existencia de muchas entidades matemáticas (p.ej., los números). Es lo que se conoce como "si-entonces-ismo", formulado por primera vez por Bertrand Russell. La idea es que los teoremas matemáticos, las VERDADES matemáticas, no afirman la existencia de ninguna entidad, sino que son enunciados condicionales. P.ej., la aritmética no afirma que EXISTE el número 7, o que existe un número natural mayor que 6 y menor que 8 (como he afirmado yo en varias discusiones recientes), sino que se limita a demostrar enunciados condicionales del tipo siguiente:
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SI existiese una estructura que satisficiera los axiomas de la aritmética, ENTONCES en esa estructura existiría un elemento que tendría las propiedades tal y cual (y aquí, substituir por las que se piense que satisface el 7)".
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Es decir, para aceptar los teoremas matemáticos no necesitamos suponer que de hecho existen las estructuras de las que se habla en ellos; sólo decimos que ES VERDAD que, si existieran, y cumplieran tales axiomas, también cumplirían tales y cuales propiedades (las que dicen los teoremas).
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El si-entonces-ismo es una forma, por lo tanto, de aceptar la objetividad de las VERDADES matemáticas, sin comprometerse con la existencia de las ENTIDADES matemáticas.
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40 comentarios:

  1. La filosofía del "como si" de Hans Vaihinger, de corte neokantiano, hace algo similar respecto a todos nuestros modelos, no solo los matemáticos.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Hans_Vaihinger

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  2. Si no existieran seres pensantes en el universo, ¿Seguiría éste rigiéndose por leyes físicas y su correspondiente aparato matemático?

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  3. Si decimos que sí, admitimos la existencia independiente de las entidades matemáticas.

    Y si respondemos que no, caemos en el solipsismo.

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  4. La multiplicación (por ejemplo) es una operación aritmética que tiene distintos algoritmos para resolverla, el maya, el egipcio, el sumerio, el persa, el arábigo, etc... pero su intuición y sus propiedades son siempre las mismas.

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  5. SI existiese una estructura que satisficiera los axiomas de la aritmética...

    ¿Cómo podría NO existir esa estructura? ¿Qué podría significar la afirmación de que tal estructura no existe?

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  6. Masgüel:
    no veo la relación con lo de Vaihinger, salvo que aparece un "si" en los dos casos. Tal vez me hace falta que me lo expliquen.
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    Jordi. No, y no a lo segundo.
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    Ejecución: pues no sé, depende de qué es a lo que te refieras exactamente cuando hablas de "la estructura". ¿A qué te refieres tú?

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  7. Es que las matemáticas no son un descubrimiento, sino un invento. Muy útil para nuestra forma de razonar binaria. Y un metalenguaje del lenguaje natural humano.

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  8. Entiendo por "estructura" la forma en que se ordenan o distribuyen unos elementos, con independencia de la naturaleza de esos elementos.


    (Sospecho que mi definición no aclara demasiado, pero no se me ocurre ninguna mejor).

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  9. No me gusta mi respuesta.

    Voy a intentar aproximarme un poco más a una parte de la frase que inspiró mis preguntas:

    una estructura que satisficiera los axiomas

    Así formulada, la frase parece sugerir una separación entre axiomas y estructura: primero tendríamos unos axiomas y luego, quizá, una posible estructura que se ajustaría a ellos, que les serviría de ejemplo. Por decirlo con una imagen, los axiomas podrían ser el pie y la estructura la huella.

    Mi idea, sin embargo, es que sería más exacto decir que los axiomas definen una estructura. No hay separación, o no más que entré círculo y circunferencia: la circunferencia define a su círculo y su círculo a su circunferencia.

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  10. Mis preguntas, por tanto, son equivalentes a las que plantearíamos ante una frase que empezara así:

    Si existiese una circunferencia que rodeara a este círculo...

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  11. Hay un fallo en el si-entonces-ismo... o en las consecuencias filosóficas que saca mucha gente del asunto:

    Llevada la idea a sus últimas consecuencias (vulgares), vendría a decir que los teoremas son transformaciones de información que "ya teníamos". Esto es cierto sólo hasta cierto punto. Primero, aunque sea información equivalente, también es cierto que no toda la información sea igual de "digerible". Y segundo, aprendemos realmente "algo" sobre el "espacio de ideas" durante el proceso.

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  12. José Manuel:
    no entiendo el "sino". Una cosa puede ser TANTO un invento como un descubrimiento (p.ej., el que inventó la rueda, descubrió que giraba). Yo me puedo INVENTAR todos los sistemas axiomáticos que quieras, pero mal iría por las revistas de matemáticas si me INVENTARA los teoremas que se siguen de esos axiomas. Se supone que para lo que pagamos al matemático es para que DESCUBRA qué teoremas se siguen a partir de los axiomas que él u otro se han "inventado" (y sobre todo, para que se "invente" aquellos axiomas que tengan los teoremas más interesantes... pero sin que se INVENTE esos teoremas).
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  13. Ejecución:
    OK. Yo estaba pensando en algo parecido, precisamente. Pero ya aprovecho y te pregunto (antes que me lo pregunten a mí): ¿y qué entiendes por "forma" cuando dices "la forma en que se distribuyen"?
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    los axiomas definen una estructura.
    Pero puesto que puede haber estructuras isomórficas, ¿en qué se distinguen unas de otras si satisfacen los mismos axiomas?

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  14. Freman:
    no digo que no
    (tampoco la entrada dice que yo acepte el si-entonces-ismo tal cual).

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  15. Jesús,

    ¿y qué entiendes por "forma" cuando dices "la forma en que se distribuyen"?

    Entiendo que fue la palabra más abstracta, más "primitiva", que he podido encontrar. Al elegirla supongo que pensaba en algo así como la forma aristotélica.

    estructuras isomórficas, ¿en qué se distinguen unas de otras si satisfacen los mismos axiomas?

    Ni idea. Yo pensaba que dos cosas (viva la precisión) eran isomórficas si tenían la misma estructura, pero no entiendo el concepto aplicado a las propias estructuras.

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  16. Esta posicion queda reflejada en su famosa cita

    "mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true"

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  17. Así formulada, la frase parece sugerir una separación entre axiomas y estructura

    Parecida a la distincion en model theory entre model (lo que tu llamas estructura) y theory (lo que tu llamas axiomas). Los axiomas/theory juegan el papel de la sintaxis, mientras que la estructura/model juega el papel de semantica.

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  18. Gracias por la información, David. Qué raro que no sea al revés, que los axiomas fueran lo semántico y la estructura lo sintáctico.

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  19. Jesús:

    Faltaría añadir que el "si-entonces-ismo" se puede aplicar no solo a los teoremas matemáticos sino a cualquier idea aunque no esté desarrollada en un modelo formal.

    Nuestra mente tiene modelos chapuceros del mundo (además de los que podamos construir formalmente a fuerza de disciplina) en donde las ideas podrían ser enunciados si-entonces-istas.

    El número 7 puede aparecer en el sistema formal de la aritmética o en el informal de algunos animales.

    Freman:

    Las últimas consecuencias no dicen apenas nada acerca de la información. Aunque tuviéramos la biblioteca de Gödel, con todos los teoremas matemáticos, seguiríamos necesitando una manera de encontrarlos cuando los necesitáramos. Sería tan inútil como la otra famosa biblioteca.

    Por cierto, lo de pensar como científico lo tomo como un cumplido. Solo se puede hacer filosofía desde la ciencia. Lo demás es bla-bla-bla.

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  20. Bien, pero hay teoremas verdaderos que no podemos deducir de los axiomas. ¿En qué sentido existen esos teoremas antes de ser planteados? ¿Los CREAMOS, si no, al enunciarlos como conjetura?

    Me parece más sencillo -y creo que es la base de tu idea- establecer que llamamos existencia de los conceptos a que sean independientes de que queramos afirmarlos o no, una vez que hemos afirmado los axiomas.

    La conjetura de Goldbach, de ser verdadera, lo es aunque no esté demostrada ni sea demostrable en el sentido de que no depende de mi voluntad que sea verdadera sino de que pueda o no encontrar al menos un contraejemplo. Esa es toda la existencia que requiere: que la lógica no es arbitraria, no es caprichosa y no depende de mí decidir que algo es verdadero sino de las reglas establecidas por el hecho de pensar en términos lógicos, es decir, en términos de conjuntos que contienen elementos.

    Plantea otra pregunta sobre si existen y cómo todos los números reales antes de ser pensados o independientemente de ser pensados.

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  21. JL Ferreira:


    "Solo se puede hacer filosofía desde la ciencia. Lo demás es bla-bla-bla."


    Y la filosofía es una parte de la ciencia, o ambas son partes del mismo tipo de actividad.

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  22. Sursum corda!:

    Efectivamente, lo de "Filosofía y letras" ha estado a punto de matar a la Filosofía en este país y en algunos aledaños. Quién sabe si no estará herida de muerte.

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  23. JL Ferreira:


    La filosofía es estéril o es simple ficción cuando se aleja del método científico. Los antiguos filósofos eran científicos que atacaban los problemas con lo que tenían a mano.

    Hay un pasaje de la Física de Aristóteles en que habla de la caída de un móvil de distintos pesos que me hace pensar que pudieron hacer casi-experimentos del tipo de dejar caer una bola de madera, hierro o plomo a través del aire, agua o aceite hasta un fondo donde hiciese clonc. Por efecto de la viscosidad, si la bola es pequeña puede hacer pensar que el tiempo de caída es inversamente proporcional a la "resistencia del medio" (algo mal definido, por cierto), que es la tesis de Aristóteles.

    Luego, tras la larga Edad media, nadie hizo ninguna observación que pudiera corregir o mejorar a los filósofos. Y es cuando empieza a hacerse observaciones cuando las ciencias, la filosofía natural, progresa.

    Newton y los demás hacían filosofía natural con un método de observaciones bien realizadas, términos bien definidos y consecuencias bien contrastadas para la verificación. Los que no hicieron eso o matemáticas o logica ética o filosofía del derecho, se empantanaron en batallas de palabrería. Y esos se quedaron con el término "filosofía" más que nada por aburrimiento de los demás, que quedaban más contentos con el de "ciencias".

    La filosofía, como algo lejano a la ciencia, es un residuo tras la destilación: cogemos todo lo que creemos saber lo sometemos a la crítica para ver si lo que depende de la lógica está bien definido o deducido y lo que depende de una verdad de hecho está bien verificado, lo destilado es la ciencia y lo que queda es "lo otro" a lo que no me apetece que llamen filosofía.

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  24. David y Ejecución:
    en efecto, hay una ambigüedad aquí; la definición del "si-entonces-ismo" que he dado parece presuponer la noción de "estructura" tal como se usa en la teoría de modelos (una estructura es un conjunto ordenado formado por uno o varios conjuntos -"dominios"- y por uno o varios conjuntos adicionales, subconjuntos de los productos de los anteriores -"propiedades" y "relaciones".
    Pero podemos hablar de la "estructura" o la "forma" que tienen en común dos estructuras isomórficas (p.ej., la de los números naturales definidos >à la Von Neumann o à la Halmos).
    En ese caso, lo que me atrae más es pensar en las "formas" o "estructuras" como COMBINACIONES POSIBLES (al tipo de "cuántas maneras hay de ordenar 3 elementos").

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  25. José Luis:
    no veo clara la analogía en el caso del conocimiento empírico. El si-entonces-ismo sugiere interpretar el teorema de Fermat, o el de Pitágoras (p.ej.) como un enunciado condicional ("SI hay algo que tiene la estructura de la serie de los números naturales, entonces pasa tal cosa...", "SI existiera algún triángulo rectángulo en un espacio euclídeo, entonces pasa tal cosa..."). Pero no veo cómo expresar en términos parecidos enunciados tales como "París es la capital de Francia" o "El agua hierve a 100 grados".
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    La idea del si-entonces-ismo es que las matemáticas no sirven para AFIRMAR nada (sólo enunciados condicionales; bueno, lógicamente estos equivalen a NEGAR que dos proposiciones distintas puedan ser verdaderas las dos, p.ej., "no existe ningún triángulo rectángulo que no cumpla el teorema de Pitágoras"). La cuestión, entonces, es que en el conocimiento empírico sí que queremos AFIRMAR cosas, y no sólo negarlas o afirmarlas condicionalmente.
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    No digo que no haya relación, pero me cuesta verla.

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  26. Sursum:
    para la cuestión que intenta responder el si-entonces-ismo es irrelevante si los teoremas están demostrados o no (incluso si son demostrables o no). Lo importante es la relación SEMÁNTICA de consecuencia (es decir, que sea VERDAD el enunciado condicional que dice que si los axiomas se cumplen, entonces se cumple también tal o cual teorema), independientemente de si sabemos que es verdad o no lo sabemos

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  27. El último comentario vale también como respuesta a Freman, creo

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  28. Bien, pero sabemos que en el caso de que los axiomas se cumplen, podemos seguir sin saber si el teorema se cumple.

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  29. Para mí, todo se reduce a una confusión en el uso de "existencia", como si la que decimos de los números reales fuera idéntica a la que decimos de las zanahorias.

    Y eso, además, de un mal uso de "existencia" como predicado. Cuando decimos que una zanahoria existe, queremos decir que una cosa es una zanahoria. El sujeto, si acaso, es lo real, en cuanto desprovisto en el uso lingüístico -exclusivamente lingüístico- de sus cualidades y el predicado, las cualidades que decimos de lo rela, son las de una zanahoria tal como la entendemos.

    El bla bla bla del filósofo que dice que si el ser existe, existir es una cualidad el ser, parece que nos obliga a conceder una especie de existencia idéntica o similar al teorema de Pitágoras o al número pi. Pues no: diremos que un concepto contiene, por virtud de los axiomas y definiciones, las propiedades tal o cual. Y existencia es exclusivamente eso.

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  30. Jesús:

    Imaginemos un teorema que cae dentro de las verdades no demostrables con los axiomas de la aritmética.

    ¿Existía en virtud de ser -que no es- consecuencia de los axiomas antes de ser pensado? ¿Cómo existen los teoremas que son verdades y no son demostrables?

    Para mí la cuestión consiste en que sean demostrables por deducción o comprobables por ejemplos y contraejemplos, nada de eso depende de tu capricho o del mío sino de que hayamos definido los términos en que están propuestos y sus consecuencias de tal y tal manera.

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  31. Bueno, Sursum, yo admito que la existencia es lo que dice el cuantificador existencial, y precisamente por eso no consigo ver diferencias entre todas aquellas cosas a las que se lo apliquemos (es decir, lo que afirmas al decir "existe" en la frase "existe una ciudad de más de 10 millones de habitantes" y "existe una manera de demostrar el teorema de Fermat en menos de 2000 caracteres a partir de los axiomas de Peano" creo que es EXACTAMENTE LO MISMO, o sea, justo lo que decimos al utilizar el cuantificador). Y precisamente por eso me parece una pregunta absurda la de "cómo existen" las cosas (esa pregunta sólo tiene sentido si "existir" es un predicado y "cómo" requiriese un adverbio; pero al ser un cuantificador, la pregunta sobra).
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    Por otro lado, que los teoremas sean demostrables es OTRA cuestión. P.ej., se puede demostrar que en algunos cálculos existen teoremas verdaderos pero indemostrables. Que una proposición matemática sea verdadera y que sea demostrable son dos cuestiones completamente distintas.

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  32. Jesús:

    En lo primero creo que estamos de acuerdo porque Existe X es lo mismo que Hay X o Te encuentras X entre los elementos del conjunto A.

    Existe una ciudad de 10 millones de habitantes equivale a que si buscas en el conjunto de ciudades, al menos una tiene 10 millones, y que existe el número pi equivale a que si buscas entre los números, uno de ellos tiene las propiedades asignadas a pi.

    ¿Y qué pasa si nadie busca o no hay nadie para buscar? Nada porque el problema consiste en que alguien afirme "Existe X" y trate de comprobar si es verdadero.


    En lo segundo, si no es demostrable, su existencia en el sentido anterior no depende de una deducción desde los axiomas, de un si abc, entonces T, sino de que es o no es verdadera, es o no demostrable de forma TOTALMENTE AJENA A nuestra voluntad y capricho.

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  33. Sursum,
    ¿Que qué pasa si nadie busca, pues lo mismo? Que exista algo no implica que, si lo buscas, lo encuentras.
    Y respecto a lo segundo, en efecto, que existan proposiciones matemáticas verdaderas e INDERIVABLES no es ningún pronlema para el si-entoces-ismo, porque este no dice nada sobre la DERIVABILIDAD, sio sobre las relaciones de CONSECUENCIA LOGICA. Lo primero es sintactico, lo segundo semantico

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  34. El si-entonces-ismo parece, en el fondo, un mero pero-realmente-no-ismo. "Los números son así y asá y hacen esto y aquello, pero realmente no existen".

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  35. En lugar de meternos con la existencia de los objetos matemáticos, podríamos practicar con objetos más cercanos: esta página web, por ejemplo. ¿Existe el Otto Neurath? ¿En qué consiste su existencia? ¿Sigue existiendo cuando se apagan los ordenadores de todos sus visitantes? ¿Dónde está? ¿Es material o inmaterial?

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  36. Ejecución: no, no es un "sí, pero no", porque, según el, no hay ningún "sí" (con acento), sino sólo muchos "si" (sin acento). Lo que dice no es que los números "existan, pero no", sino que no existen, y que los teoremas matemáticos son enunciados condicionales, no afirmaciones.
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    Lo de tu último comentario, no digo que no sea interesante.

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  37. Vierto mi humilde opinión:

    Hay ciertas estructuras matemáticas EN el propio universo.
    Podemos agrupar manzanas y obtener una idea de “número”. Podemos juntar grupos de manzanas e idear la suma. Haciendo una abstracción. Es decir elaborando un concepto mental de esa entidad conceptual llamada “numero”

    Podemos dibujar un triángulo y el “teorema de Pitágoras esta allï” es parte de la estructura del espacio. Que cerca nuestro es plano.

    Ahora bien. Después inventamos los axiomas, los razonamientos, los sistemas formales y vemos que jugando con ellos obtenemos otras estructuras matemáticas.

    Oh sorpresa alguna de estas estructuras matemáticas mentales tienen un análogo en el universo. Por ejemplo los espaciós de Hilbert sirven para describir como se comporta el universo en escala cuántica.

    Jugamos a modificar uno de los axiomas de Euclides y obtenemos algo coherente que OH!! También aparece si hacemos geometría sobre una esfera o en el propio espacio a grandes distancias.

    Por lo tanto no es que el numeró 23 exista en si mismo o en otro plano fuera del espaciotiempo y que de alguna manera nuestros cerebros perciben ese plano.

    Cuando decimos que “23 es primo” no es una propiedad del objeto “23” sino el hecho que un conjunto de 23 elementos solo es puede dividir dandole 1 elemento del conjunto de 23 naranjas a cada uno de los 23 miembros del conjunto personas, o que hay que darle las 23 naranjas a una sola persona. Mientras que hay varias maneras de repartir 24 naranjas de forma equitativa.

    Después se inventa la aritmética en si, se la axiomatiza, se inventan algoritmos y se hace toda la teoría de los números primos.

    Toda estructura matemática que podamos inventar está presente de alguna manera en el universo?.... no se no creo.

    Pero el hecho que haya algunas estructuras presentes da cuenta de la famosa irrazonable eficacia de la matematica.

    No habla de existencia objetos abstractos sino que siempre seria una existencia material.

    Ya sea en la propia materialidad del universo, ya sea en nuestros cerebros como abstracción (algún tipo de circuito neuronal, ya sea codificada en objetos materiales como ser libros)

    Kewois

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  38. Kewois:
    claro, el si-entonces-ismo no AFIRMA tampoco que no exista ninguna estructura que cumpla tales o cuales axiomas matemáticos; en la medida en que estructuras empíricamente dadas los cumplan, pues también cumplirán sus teoremas.

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  39. Jesús:

    Podemos empezar por ver si estás de acuerdo en que el número 7 lo podemos obtener de manera si-entonces-ista también en un modelo informal (o en una mezcla de ellos) como estos chapuceros que la evolución biológica nos ha dejado como intuiciones o instintos.

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