13 de octubre de 2010

¿ES LA MATEMÁTICA UNA CIENCIA EMPÍRICA?

La matemática "estándar" admite dos tipos de reglas de inferencia, llamémoslas A y B. El intuicionismo sólo admite A, por lo tanto, todos los teoremas demostrados con ayuda de B, no son teoremas demostrados, para los intuicionistas (B es básicamente el principio de tercio excluso, y algunos otros detalles más; A son todas las demás reglas de inferencia comunes).
Así pues, el conjunto de teoremas admitidos por los intuicionistas es un subconjunto de los admitidos por los matemáticos "normales".
Los intuicionistas dicen que, como B no es aceptable ("kosher"), los teoremas demostrados con su ayuda PUEDE QUE NO SEAN VERDADEROS. Que un teorema no sea verdadero significa que tiene contraejemplos (al menos, cuando es del tipo "todos los x que son tal, son cual").
Pues bien, hay un argumento muy sencillo que me convencería de la validez del intuicionismo: mostrar que algún teorema demostrado mediante el uso de B es falso, o sea, mostrar un contraejemplo de un tal teorema. Que yo sepa, nadie ha encontrado nunca un contraejemplo así, o sea, nadie ha demostrado que un teorema no-kosher ("no aceptable como teorema por los intuicionistas") era un teorema EQUIVOCADO.
Naturalmente, esto es un argumento INDUCTIVO ("cuasi-empírico", digamos) a favor de la aceptabilidad de B; pero, obviamente, los motivos para aceptar B (repito, sobre todo la ley de tercio excluso: "A o no-A") no son SÓLO que hasta ahora todos los teoremas demostrados con su ayuda no han tenido contraejemplos (por supuesto, teniendo en cuenta la tasa de error normal de todo cálculo matemático, sea hecho por intuicionistas o por burgaleses), sino también que a la mayoría de los lógicos y los matemáticos el principio de tercio excluso les parece TAN OBVIO Y ACEPTABLE como los otros principios lógicos que los intuicionistas SÍ aceptan (el principio de no contradicción, el modus ponens, etc.).
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(Viene de aquí).
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22 comentarios:

  1. En primer lugar, a tu propuesta le falla o le beneficia un hecho pragmático, a saber: ningún matemático, por muy intuicionista que sea, se va a poner a demostrar la falsedad de un teorema YA demostrado aunque sea de forma NO intuicionista pues, de hecho, ese teorema igual sí que se podría demostrar de forma correcta y ser por tanto válido.

    En segundo lugar, Umberto Eco, en su libro Lector in Fabula, escribe unas líneas que me vienen ni que pintadas al post (pág.209):

    ¿qué haremos con las verdadades llamadas lógicamente necesarias(...) como el modus ponens?

    La respuesta es que estas verdades deben considerarse como condiciones metalingüsitcas de constructibilidad de las matrices del mundo(...)

    Sin embargo, alguien podría decir que en los mundos narrativos se dan casos en los que las verdades lógicas resultan negadas. En tal sentido(...) existen novelas de ciencia ficción donde ocurre que A es causa de B, B causa de C, y C, a su vez es causa de A(...) También podriamos decidir que el protagonista descubriera que 17 ya no es un numero primo y encuentre controvertidas muchas otras de las denominadas "verdades eternas"
    (...)
    Esto se debe a una ilusión narrativa. Tales mundos no son "construidos" sino simplemente "nombrados". Puede decirse perfectamente que existe un mundo donde 17 no es un número primo
    (...).
    Pero para "construir" estos mundos se necesita producir la regla que permite dividir por 17 un número distinto y obtener algún resultado.


    Más tarde

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  2. Jesús,

    lo que estás exponiendo es un argumento empírico a favor de la consistencia de la matemática estándar, pero no es un argumento en contra de la matemática intucionista.

    El principio del tercero excluido es un axioma más, que puedes utilizar (matemática estándar) o no utilizar (matemática intuicionista). Por ejemplo la aritmética estándar y la aritmética intuicionista, cada una dará lugar a una ristra de teoremas. La aritmética estándar incluirá todos los teoremas de la aritmética intuicionista y eventualmente algunos más.

    No es la única elección que ha de hacer el matemático. El quinto postulado de Euclides, el axioma de elección, la hipótesis del continuo, etcétera, todos son axiomas que pueden ser utilizados, o no, o incluso afirmar su negación, a voluntad del matemático.

    En cualquier caso, estudiar los teoremas que son consecuencia de la matemática intuicionista es tan propio del trabajo matemático como hacerlo con la matemática estándar. Una cuestión de preferencia más que de refutación empírica.

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  3. Muy interesante el comment de Gulliver. Se nota que controla.

    Ya de paso una duda:

    Si lo que piden los intuicionistas es que todo objeto matemático sea construible paso a paso, ¿no se está exigiendo de hecho que las matemáticas sean enteramente computables?

    De hecho, los que crean que el universo es computable, ¿no debieran ser intuicionistas?

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  4. Gulliver:
    totalmente de acuerdo; lo que digo es un argumento contra quienes piensan que la matemática intuicionista es "la correcta".

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  5. Héctor:
    ningún matemático, por muy intuicionista que sea, se va a poner a demostrar la falsedad de un teorema YA demostrado aunque sea de forma NO intuicionista pues, de hecho, ese teorema igual sí que se podría demostrar de forma correcta y ser por tanto válido.
    Es que un intuicionista no piensa que eso sea "un teorema"; naturalmente, si encuentra una demostración intuicionista, ya no hará falta buscar contrejemplos.
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    Pero lo que digo es que, si los métodos clásicos SON inválidos, entonces DEBEN tener contraejemplos (pues si no tienen contraejemplos, EN ESO consiste el que sean "válidos"). Pero no se han encontrado esos contrejemplos (y sí muchísimos ejemplos favorables - "predicciones correctas"); por lo tanto, no entiendo la EAZÓN para considerarlos incorrectos. El intuicionismo sería, en ese caso, una mera muestra de divismo ("fíjate, soy capaz de demostrar ALGUNOS teoremas sin usar el peincipio de tercio excluso", como el que escribe cuentos sin usar la i).
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    El ejemplo que pones de Umberto Eco muestra simplemente que entiende poco de matemáticas.

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  6. Umberto Eco NO hablaba de mates sino de semiótica pero al final todo es lenguaje y su razonamiento me parece impecable, no entiendo tu displicencia con él porque ¿acaso me vas a negar que las verdadades llamadas lógicamente necesarias, como el modus ponens, no son sino condiciones metalingüsitcas de constructibilidad de las matrices del mundo? ¿Es que para ti son axiomas metafísicos?

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  7. Héctor:
    ¿acaso me vas a negar que las verdadades llamadas lógicamente necesarias, como el modus ponens, no son sino condiciones metalingüsitcas de constructibilidad de las matrices del mundo?
    Si supiera qué carajo quiere decir " condiciones metalingüisticas de constructibilidad de las matrices del mundo", a lo mejor te lo negaría, o a lo mejor no ("¡Matrices del mundo, uníos!").
    Lo mismo si supiera qué entiendes tú por "axiomas metafísicos". Para mí es un "axioma lógico", de los que salen en los manuales de lógica.

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  8. Por cierto, Héctor, pensaba que no te gustaban las preguntas tipo "qué es" (tipo "qué es el modus ponens").

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  9. Ya eres sibarita Jesús...

    Lo que viene a decir Umberto Eco es que la lógica define mundos posibles y lo que vienen a ser los axiomas lógicos (como tú los llamas y perpetrando así un pleonasmo) es que cualquiera de esos mundos imaginables ha de ser construido utilizándose esos metaprincipios

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  10. Héctor:
    Ya eres sibarita Jesús
    Mucho
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    la lógica define mundos posibles
    OK, pero eso es sólo una manera de decirlo (en todo caso, más clara). Me fastidia mucho la gente como Eco, que en lugar de utilizar los recursos del lenguaje para hacer más claro lo que quiere decir, lo oscurece a propósito para hacer que sus trivialidades suenen más interesantes.
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    lo que vienen a ser los axiomas lógicos (como tú los llamas y perpetrando así un pleonasmo)
    No veo el pleonasmo. El modus ponens es un axioma lógico. El axioma de elección es un axioma matemático. El axioma de las paralelas, un axioma geométrico. La constancia de la velocidad de la luz, un axioma físico. No todos los axiomas son lógicos.
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    cualquiera de esos mundos imaginables ha de ser construido utilizándose esos metaprincipios
    ¿"Ha de ser", en el sentido de que es IMPOSIBLE diseñar "mundos posibles" que no los cumplan? Yo tendería a llamar "lógicos" a un axioma cuanto más difícil sea para mí entender un "mundo posible" sin él. En eso supongo que estamos de acuerdo.

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  11. ¿"Ha de ser", en el sentido de que es IMPOSIBLE diseñar "mundos posibles" que no los cumplan?

    Entiendo que a eso se refiero Eco, efectivamente, a que es imposible y de ahí la demostración de que realmente NO somos capaces de construir mundos en donde el 17 no sea un número primo

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  12. Héctor:
    NO somos capaces de construir mundos en donde el 17 no sea un número primo
    Que es una manera más pedante de decir que el número 17 es primo.
    .
    Te recuerdo lo que le contesté a Masgüel en uno de los intercambios de la entrada anterior (y creo que estarás de acuerdo básicamente):

    El problema es que estás "abducido" por los dos milenios y medio de la carga metafísica del término "existir" (o "ser"), y piensas que, si cometes la "debilidad" de admitir que un número "existe", entonces estarás aceptando una realidad metafísico-ontológica-sustancialista-platónico-parmenídea-heideggeriana, o algo así. Y no hace ninguna falta. Yo, a lo que te invito, es precisamente a JUGAR, a jugar al juego de las matemáticas, que te llevan a hacer "jugadas" como la de "admitir que, para todo n, EXISTE un m tal que m = n+1"; no hace falta que pongas en (o bajo, o sobre, o tras) la palabra "existe" ninguna carga metafísica; lo único que hace falta es tomar la palabra "existe" como una palabra cuyo significado viene dado por las reglas de juego del cálculo lógico-matemático... ¡¡¡y de acuerdo con esas reglas, si n es el mayor número en el que tú has pensado, entonces "existe" el número n+1!!! No tiene más misterio.

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  13. Claro pero Eco se muestra restrictivo respecto a la naturaleza de esos juegos, es decir, tú puedes creer que existe un mundo en donde el 17 NO sea primo pero para Eco ese mundo NO pertenece al juego de la lógica, es otro juego, es decir, ese mundo para él NO es posible (y para mi tampoco) e independientemente de que desde otros juegos -v.gr: un texto dadaísta- ese 17 tan raro sí pueda existir

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  14. Héctor:
    lo que me cuentas sigue siedo una forma pedante de decir perogrulladas

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  15. Si te parece de perogrullo lo que decimos Eco y yo entonces es que admites como válidas nuestas refutaciones, ¿no?

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  16. Héctor:
    no sé a qué te refieres con "lo que decimos Eco y yo". Yo estoy hablando en esta discusión de ciertas cosas que tú dices que dice Eco, no de TODO lo que dice Eco. Y ESO que dices que ha dicho Eco, me parece de perogrullo.
    Lo que no veo es que sea una "refutación" de nada que yo haya dicho.

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  17. ¡Qué cansancio!, ¿por qué no haces el esfuerzo de leer en vez de yo re-escribir y re-escribir? Porque yo leo a Eco y le entiendo perfectamente así que no sé...porque este mismo texto se lo saqué a otro pavo en otra discusión y no tuvo ningún problema en entenderlo y a la primera.

    Repito: Para Eco los axiomas como el modus ponens están presentes en todos los mundos posibles y cuando somos capaces de imaginar un mundo en el que NO (v.gr: un mundo donde el 17 NO es primo), lo que pasa es que ese mundo sólo lo hemos nombrado pero NO construido

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  18. Héctor:
    ¡pero si yo no sólo ENTIENDO el texto de Eco, sino que ESTOY DE ACUERDO CON ÉL! (¿cómo no voy a estar de acuerdo con una perogrullada?)

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  19. Es que, Héctor, por mucho que te empeñes, el hecho de que Eco utilice la palabra "constructibilidad" en el párrafo que copias, no hace de él un teórico del intuicionismo. También hablan de constructibilidad los hilbertianos, los fregeanos, los tarskianos. De hecho, el párrafo de Eco es perfectamente compatible incluso con el platonismo matemático (que yo no acepto): pues lo que dice es que el mero hecho de escribir en una novela "Fulanito demostró que 17 no era un número primo" no equivale a construir una prueba de que 17 no es un número primo (ni siquiera a construir un sistema axiomático de la aritmética en el que 17 no sea un número primo).
    Lo que le critico (y a ti de rebote) es el intento de explicar una noción DIFÍCIL DE ENTENDER (como la de "verdades lógicamente necesarias"), mediante otra AÚN MÁS DIFÍCIL DE ENTENDER (como "condiciones metalingüísticas de constructibilidad de las matrices del mundo"), en un ataque agudo de la enfermedad que tanto te gusta criticar a otros (la de preguntar y responder "¿qué ES tal o cual?").

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  20. Jesús, una pregunta (sin ironía):

    ¿Hay matemáticos (vivos) que sean intuicionistas? (y no me refiero a su postura filosofica sobre la matemática, sino a que realmente usen sólo la lógica intuicionista?

    Un saludo.

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