20 de enero de 2011

LA PERSPICACIA DE WITTGENSTEIN


Tractatus logico-philosophicus, 6.1251:
"Por lo tanto, en lógica jamás puede haber sorpresas"
(Darum kann es in der Logik auch nie Überraschungen geben)
(cursivas en el original)
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Por no hacer mucha leña del árbol caído, no hablaremos del teorema de incompletud de Gödel, o de la prueba por Paul Cohen de que hay modelos de la teoría de conjuntos que no cumplen la hipótesis del continuo. Mencionaré sólo que, más o menos a la vez que el bueno de Ludwig escribía esto, se demostraba el teorema de Löwenheim-Skolem. Este teoremilla dice algo curioso, aunque aparentemente inofensivo: si un enunciado tiene un modelo de cardinalidad infinita K, entonces también tiene modelos de cardinalidad infinita K' y K'', para toda cardinalidad K' menor que K y K'' mayor que K.
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Lo grave es que este enunciado parece llevar a una paradoja: consideremos el enunciado E que consiste en una axiomatización de las propiedades de los números reales; sabemos que de ese enunciado se puede inferir la conclusión de que hay más números reales que naturales, es decir, que la cardinalidad K del conjunto de los números reales es estrictamente mayor que la cardinalidad del conjunto de los números naturales (al que diga "¡pues vaya bobada!", se le debe recordar que el conjunto de los números racionales tiene, en cambio, exactamente la misma cardinalidad -el mismo número de elementos- que el conjunto de los números naturales, y por tanto, hay menos números racionales que reales, ¡¡¡pese a que entre cada dos números reales hay infinitos números racionales!!!).
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Ahora bien, por el teorema de Löwenheim-Skolem, ¡¡¡el enunciado E tiene un modelo de la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales!!!., es decir, un modelo "infinitamente contable"). Es decir, los símbolos que forman ese enunciado (a partir del cual se puede demostrar que hay MÁS QUE INFINITAMENTE CONTABLES números reales), PUEDEN INTERPRETARSE TAMBIÉN como la descripción de un modelo que tiene el mismo número de elementos que el conjunto de los números naturales.
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¡Joder, para no haber sorpresas, ésta era de las gordas!
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PS: Algún listillo ya habrá pensado "es que Wittgenstein está hablando de la lógica, no de las matemáticas". A eso el mismo Luisito responde un poco más abajo (6.2): "La matemática es un método lógico").
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22 comentarios:

  1. "¡¡¡pese a que entre cada dos números reales hay infinitos números naturales!!!)"

    Creo que querías decir:

    ¡¡¡pese a que entre cada dos números reales hay infinitos números RACIONALES!!!)

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  2. Und ... Was ist eine Überraschung?

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  3. Te metes con Wittgenstein porque era gay no porque estuviera equivocado.

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  4. Popper no era gay (y no inventó el ídem), pero también era un pedorro de cuidado. Decía que le aburría hablar con Einstein, porque éste se pasaba el tiempo haciendo metáforas sobre dios.

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  5. A Wittgenstein le sentaron muy mal las trincheras. Eso e ir a clase con Hitler hacen que luego uno se ponga a escribir libros de lógica. Angelito...

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  6. Para Wittgenstein es "espacio lógico" era la totalidad de los enunciados, tanto los realizados como los posibles. En el espacio lógico de las matemáticas, todos los enunciados (teoremas)están dados, tanto los que conocemos como los que aún no se conocen, de ahí que en el espacio lógico no pueda haber sorpresas. En un espacio lógico, una vez que se han dado todos los "objetos", las combinaciones (actuales y posibles) entre ellos se han dado también. Pero la noción de "objeto" en el Tractatus es otro cantar.

    Gracias por tu blog. Tanto por tus entradas actuales como por las posibles

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  7. José Luis: Gracias por tu blog. Tanto por tus entradas actuales como por las posibles
    Gracias a ti.
    Te aseguro que las "entradas posibles" son mucho mejores.

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  8. Yo de esto no tengo mucha idea pero creo que debe ser:

    pese a que entre cada dos números naturales hay infinitos números RACIONALES

    no?

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  9. Anónimo:
    eso es lo que pone, una vez corregido gracias a un aviso similar.

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  10. Efectivamente no hay sorpresas en lógica -ni en matemáticas-, lo que quiere decir que no hay lugar para lo contingente temporal. Lo que es en lógica, lo es necesariamente. Algo que no estamos en condiciones de poder afirmarlo en la realidad empírica.


    Der Onkel eines Freundes
    Saludos

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  11. De todos modos, Witty (that beery swine), Popper y el resto de la cuadrilla ilustran a la perfección la esterilidad a la que conduce cierta mala interpretación de aquello en lo que consiste "ser racional". Mientras Witty se dedicaba a dar por cerrada la Lógica, Gödel (el platonista irredento) se dedicaba a dar por culo. Mientras Popper se dedicaba a la filosofía evitando la palabra Dios en sus conversaciones, Einstein y los suyos se dedicaban a hacer Física de verdad.

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  12. Tío de un amigo:
    ¿y qué? Puede haber mogollón de cosas necesarias que sean la hostia de sorprendentes. Ya lo dijo el bueno de Aristóteles: no es lo mismo lo que es evidente en sí mismo que lo que es evidente para nosotros.

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  13. De hecho, los teoremas de Skolem, Gödel y Cohen le producen una sorpresa tremenda a mucha gente (e incluso hay mucha gente que está convencida de que TIENEN que estar mal).
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    Por otro lado, yo no niego que un teorema matemático SEA una verdad eterna; pero, por desgracia, nosotros no trabajamos más que con nuestras CREENCIAS de si algo es un teorema matemática o no lo es, y podemos equivocarnos.

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  14. Los teoremas de Löwenheim-Skolem, como el teorema de incompletitud,se refieren a la axiomatización de teorías.

    Yo entiendo que la afirmación de wittgenstein alude al sistema formal en sí, y en ese sentido cae dentro del teorema de completitud semántica, por lo que Wittgenstein sí acertó. Pretender que lo que él entendía por "lógica" abarca la teoría de modelos es un error.

    Por otro lado es obvio que su logicismo es muy ingenuo, pero es achacable a la época en la que vivió.

    Un saludo.

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  15. Jesús

    Lo único que pretendo es entender qué quiere decir Wittgenstein con "no hay sorpresas". No creo que Wittgenstein pensase -ni afirmase- que no pudiesen llegar a realizarse nuevos e interesantísimos descubrimientos -demostraciones- matemáticos.

    Creo que lo que quiere decir es que dada la demostración de un teorema, si hemos comprendido todo el desarrollo de la demostración, comprendemos que es así y que no podía ser de otro modo -en ese sentido no hay sorpresas.

    Saludos.
    De Onkel eines Freundes.

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  16. Por el contrario el más anodino de los hechos es una absoluta ( e irreductible) sorpresa.

    Der Onkel eines Freundes

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  17. Alonso:
    no tengo claro que el primer W. no habría considerado la teoría de modelos como parte de la lógica; al fin y al cabo, pensaba que la matemática lo era.
    Tío:
    Claro, una vez que deja de ser una sorpresa ya no es una sorpresa.

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  18. ¿Pero no se refería Wittgenstein a una sorpresa de fuera de la lógica? Yo siempre lo entendí así cuando lo lei doblado por Viejo-Galván, el tierno profesor.

    Para sorpresa, o como se diga en griego, la de que raíz de dos no era un número racional. De esas sorpresas ha habido unas cuantas antes de Wittgenstein.

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  19. Otra cosa, Jesús:

    Un modelo de cardinalidad menor que la de los reales menos n natural siempre puede ser de cardinalidad mayor que la de los naturales. Esto es más una pregunta que una afirmación y espero que respondan los expertos.

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  20. Sursum:
    Un modelo de cardinalidad menor que la de los reales menos n natural
    No entiendo a qué te refieres

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