12 de noviembre de 2009

EL TAMAÑO SÍ IMPORTA: LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO

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Recordaréis, tal vez, que en una entrada anterior hablábamos del "argumento de la diagonal" de Cantor, mediante el que demostraba que el conjunto de los números reales (los que pueden representarse mediante una parte entera y una lista infinita de decimales) es ESTRICTAMENTE MAYOR que el conjunto de los números naturales.
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(Alguno pensará: "¡pues vaya tontería!, ¡claro que es mayor!"; lo que pasa es que el conjunto de los números racionales -los que pueden expresarse como una fracción de números enteros, o, alternativamente, como un número con una parte entera y una parte decimal periódica- es ESTRICTAMENTE DEL MISMO TAMAÑO que el conjunto de los naturales, es decir, los números racionales se pueden CONTAR, pero los reales NO; la prueba -por Cantor- de que los racionales son contables la veis en la imagen primera: en el cuadro están TODOS los racionales, y la linea roja los va recorriendo TODOS -puede saltarse los repetidos, como 2/4 una vez que tenemos 1/2-, de forma que podemos ir NUMERÁNDOLOS: 1º el 1, 2º el 2, 3º el 1/3, 4º el 1/2, 5º el 3, 6º el 4, 7º el 3/2, etc.; de este modo, CADA número racional acabará teniendo en la serie un número de orden; ESTO, el dar un número de orden a cada número REAL, es lo que no se puede hacer, como vimos en la citada entrada que también demostró Cantor).
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Pues bien, llamemos N al TAMAÑO del conjunto de los números naturales (o, como dicen los matemáticos, su "cardinalidad"), y R al TAMAÑO conjunto de los números reales. Puesto que los números reales son los que sirven para representar una recta continua, a este último tamaño se le llama "la cardinalidad del continuo". (También se puede demostrar que hay la misma CANTIDAD de números racionales en un segmento finito de la recta -por "pequeño" que sea- que en TODA la recta; y que hay la misma cantidad de números reales en un segmento que en toda la recta).
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Un famosísimo problema matemático, todavía no resuelto, es el siguiente:
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¿Hay algún conjunto C, cuyo tamaño sea K, tal que N sea menor que K y K sea menor que R? O sea, ¿hay algún conjunto que sea MAYOR que el de los números naturales, pero MENOR que el de los números reales?
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Éste es el conocido "problema del continuo". La llamada "hipótesis del continuo" afirma que NO: el conjunto de los números reales es el conjunto infinito más pequeño que es mayor que el conjunto de los números naturales.
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Lo más curioso es que tanto esta hipótesis como su negación SON CONSISTENTES CON EL RESTO DE LOS AXIOMAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS (lo demostró Paul Cohen, el de la foto, el año que yo nací, y ganó por ello la medalla Fields; ¡hay que ver qué listos son estos judíos!). ¿Quiere eso decir que la teoría de conjuntos es insuficiente para determinar si ese conjunto C existe o no? ¿Quiere decir que la existencia de C no es verdadera ni falsa? ¿Quiere decir que hay diversas matemáticas -aritméticas, en este caso- alternativas, igual que hay geometrías alternativas? ¿Quiere decir que hay verdades matemáticas -p.ej., la existencia, o inexistencia, de C- que no seremos nunca capaces de demostrar?
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13 comentarios:

  1. ... y la Legión Tebana de Defensa de la Moral, ¿qué opina de estos temas?

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  3. ¿Quiere decir que hay verdades matemáticas -p.ej., la existencia, o inexistencia, de C- que no seremos nunca capaces de demostrar?


    Pensé que Gödel ya había demostrado que sí

    ¿Quiere eso decir que la teoría de conjuntos es insuficiente para determinar si ese conjunto C existe o no?

    Ta claro, ¿no? Si no no sería consistente con las dos opciones

    ¿Quiere decir que la existencia de C no es verdadera ni falsa?

    Depende lo que entiendas por verdad. Si partes de la concepción kripkeana de que las proposiciones hay que fundarlas entonces sí, C no es ni verdadero ni falso.

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  4. Héctor:
    a grandes rasgos, tienes razón, pero hay matizaciones:
    1º: Gódel no demuestra que hay verdades "imposibles de demostrar", sino que, para cualquier conjunto numerable de axiomas, habrá consecuencias lógicas de ESOS axiomas que no son derivables con ESOS axiomas. Obviamente, si incluímos la hipótesis del continuo en los axiomas (como de hecho se puede hacer), entonces es trivialmente "demostrable". Lo INTERESANTE (y en lo que siguen trabajando los matemáticos) es encontrar algunos axiomas que no sean LÓGICAMENTE EQUIVALENTES a la HC, que sean "intuitivamente correctos", y de los que HC pueda deducirse (o su negación).
    2. Más o menos lo mismo: "la" teoría de conjuntos no es UNA, sino que depende de qué axiomas elijamos. HC es consistente con la teoría de conjuntos "clásica" (Zermelo-Fraenkel), pero hay otras, no necesariamente equivalentes. Tal vez HC se siga de algunas, y de otras se siga su negación.
    3. Una razón de más para pasar de Kripke.

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  5. Gracias por las aclaraciones aunque el punto 3) me ha dejado noqueado. ¿Es que para ti toda proposición es verdadera o falsa?

    En todo caso eso tendría sentido para una proposición empírica pero para una matemática, teniendo en cuenta la existencia de indecibles, tal creencia es eso, una creencia, ¿no?

    No sé lo que quiero decir es que a mi que una proposición se quede en tierra de nadie, ni en lo verdadero ni en lo falso, es una opción viable y una magna manera de cortar el nudo gordiano de las paradojas autorreferenciales

    Por cierto, ¿esas preguntas eran retóricas porque ya tienes unas respuestas o verdaderamente preguntabas en alto?

    Si es lo primero, compártelo anda, no seas tacaño

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  6. Gracias por las aclaraciones aunque el punto 3) me ha dejado noqueado. ¿Es que para ti toda proposición es verdadera o falsa?

    En todo caso eso tendría sentido para una proposición empírica pero para una matemática, teniendo en cuenta la existencia de indecibles, tal creencia es eso, una creencia, ¿no?

    No sé lo que quiero decir es que a mi que una proposición se quede en tierra de nadie, ni en lo verdadero ni en lo falso, es una opción viable y una magna forma de cortar el nudo gordiano de las paradojas autorreferenciales

    Por cierto, ¿esas preguntas eran retóricas porque ya tienes unas respuestas o verdaderamente preguntabas en alto?

    Si es lo primero, compártelo anda, no seas tacaño ;-)

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  7. Héctor:
    para mí, que la proposición sea verdadera o falsa no depende de si está "fundada" (o sea, ¿demostrada?; entonces, ¿cómo decimos si son verdaderos los AXIOMAS?), sino de si está BIEN CONSTRUIDA. O sea, si está bien construida, tendrá un valor de verdad (aunque no sepamos cuál es).
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    Con respecto a la indecidibilidad, creo que confundes ese concepto con el de "tener un valor de verdad indefinido". Pero no es lo mismo. De hecho, no tiene NADA que ver, más bien al contrario: una proposición es indecidible si:
    a) TIENE un valor de verdad (o, más concretamente, ES VERDAD que es una consecuencia lógica de ciertos axiomas; "consecuencia lógica" en sentido SEMÁNTICO: o sea, es VERDAD que, si los axiomas son verdaderos, entocnes la proposición en cuestión también es VERDADERA);
    2) pero las regla de transformación del lenguaje en cuestión no permiten DEDUCIR SINTÁCTICAMENTE esa proposición a partir de esos axiomas.

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  8. Podemos tomar como ejemplo el quinto postulado de Euclides. Ni él ni su contrario pueden deducirse de los otros cuatro. Ni él ni su contrario son ciertos ni dejan de serlo en ningún sentido sensato del término.

    Ocurre que podemos construir una geometría con el quinto postulado y otra con su negación (en realidad tres geometrías, pues se puede negar el quinto postulado de dos maneras).

    Con la hipótesis del continuo pasa, formalmente, lo mismo, pero pasa también que no podemos (o no sabemos, de momento) construir un conjunto con un cardinal entre el de los naturales y el de los reales aunque neguemos la hipótesis.

    Aceptar la hipótesis nos lleva también a cosas raras, así que no sabemos muy bien si una de las dos matemáticas que salen de aceptar o negar el postulado es más "natural" en algún sentido que la otra . Se suele elegir la aceptación porque hace todo más fácil y más intuitivo. Como tiene que ver con infinitos, las consecuencias prácticas de una u otra elección son bastante pocas (en el sentido de aplicar un modelo u otro al mundo físico).

    Las páginas de la wikipedia (en inglés) ofrecen un buen resumen de lo que hay con la hipótesis del continuo y el axioma de elección (otro que tal baila).

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  9. ¿cómo decimos si son verdaderos los AXIOMAS?.

    Es que no se decide sino que se asume de forma que si los aceptamos (o si estuvieran fundados) habría que aceptar el resto de proposiciones que se deducen pudieno haber proposiciones indeducibles, indecibles.

    Al final, a mi parecer, todo se reduce a ser o no ser realista platónico.

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  10. Héctor: naturalmente, se "asume" que los axiomas son verdaderos, en el sentido de que son una hipótesis; aunque, en general, los axiomas (al menos en la lógica y en la teoría de conjuntos, así como en la mayor parte de las matemáticas) tienen que tener un cierto "pedigree" de "obviedad" para asumirlos (esa es la razón por la que la "hipótesis del continuo" se sigue llamando "hipótesis": no es nada "obvio" que sea verdadera). La cuestión es: ¿hay algunos axiomas "más evidentes", a partir de los cuales pueda derivarse esa hipótesis o su negación?).
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    No creo, de todas formas, que el ABORDAR estos problemas nos fuerce a elegir entre platonismo o antiplatonismo.

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  11. A propósito del comentario de José Luis, es muy pertinente la comparación con el axioma de las paralelas. Ahora bien, si DE HECHO CONSTRUYÉRAMOS un conjunto cuyo tamaño fuese mayor que N y menor que R, habríamos probado la falsedad de la hipótesis del continuo, mientras que la construcción de espacios no euclideos no demuestra que el axioma de las paralelas es falso: sólo que no se cumple en ciertos espacios, y en otros sí.
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    Ahora bien, tal vez el problema sea la noción de "conjunto". Pensamos que la noción es suficientemente clara, y que está caracterizada por los axiomas de ZF (no de "ZP", ojo), pero tal vez haya VARIOS TIPOS DE COSAS, no equivalentes, que satisfagan los axiomas de ZF, y en cambio haya otras propiedades que los "conjuntos estándar" sí satisfagan, y otras cosas de esas no.
    Esto puede relacionarse con la necesidad de "aclarar" la noción de "conjunto", necesidad que surgió a raíz de la Paradoja de Russell.

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  12. Jesús:

    Si de hecho construyéramos ese conjunto de cardinalidad intermedia será porque hayamos usado algún otro axioma que lo implique (y que permita su construcción). Es decir, puede ocurrir que en algunas axiomatizaciones de la matemática se pueda construir tal conjunto y en otras no.

    Igual que con el quinto postulado de Euclides. Como bien dices, si podemos construir una recta y un punto exterior a ella por el que pasen cero (o infinitas) paralelas no hemos demostrado que el quino postulado de Euclides sea falso. En unas geometrías podemos construir tal cosa, en otras no.

    O igual que con el axioma de elección. Con él se pueden definir y construir ciertos objetos que no se pueden construir sin él. El poder construirlos tampoco muestra que el axioma sea cierto.

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  13. pues que estupidos son saben por que no explican bien que son fracciones undeducibles para que ponen eso si ese viejo no sabe que son fracciones indudicibles es mejor buscar la pag de alberts einstein que el si te explica este no sabe ni que son fracciones.
    gracias
    ademas la pag de albert einstein es
    www.alberteinsyeinmatematica.com
    ;)espero que se mentan hay

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