6 de julio de 2010

LA CONJETURA DE GOLDBACH Y EL TEOREMA DE GÖDEL

La conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor que dos es la suma de dos primos. Esta conjetura no ha sido demostrada, y tampoco se ha demostrado que sea falsa.
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Como se ha señalado a veces, es posible que la conjetura sea indemostrable (ya que Gödel demostró que necesariamente existen proposiciones indemostrables ("indecidibles") en la aritmética, y en principio, nada parece impedir que la conjetura de Goldbach fuese una de ellas).
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Pero supongamos que la conjetura es, de hecho, falsa, o sea que hay algún número par, N, que no es la suma de ningún par de primos menores que N. Puesto que N es un número finito, si la conjetura fuese falsa, sería POSIBLE llegar contando hasta ese número, comprobar para cada par de primos menores que N si su suma es igual o no a N, y DEMOSTRAR, por lo tanto, que N viola la conjetura, y que la conjetura es falsa.
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Por lo tanto, SI la conjetura es falsa, entonces existe una demostración matemática finita de que es falsa. Pero, si la conjetura es indecidible, entonces no puede haber ni una demostración de que es verdadera, ni una demostración de que es falsa. Así que, si se demostrase que la conjetura es indecidible, entonces sería verdadera, lo que sería una contradicción (pues habríamos demostrado que no se puede demostrar que es verdadera, y que ES verdadera).
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¿Hemos encontrado una paradoja?
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Tranquilos. Nada de eso. Lo único que se sigue de aquí es que, si la conjetura de Goldbach es indecidible, entonces no se puede demostrar que es indecidible.

21 comentarios:

  1. Creo que queda más claro si distinguimos mejor entre "la conjetura de Goldbach es cierta" y "la conjetura de Goldbach es demostrable en la aritmética". Son cosas distintas y no hay contradicción en afirmar la primera y negar la segunda (o al revés).

    Que no sea demostrable (y que sea indecidible) en la aritmética significa que, manipulando los símbolos de la aritmética no podemos construir, a partir de sus axiomas, ninguna proposición que se pueda interpretar como la conjetura de Goldbach. Pero en otro sistema podría mostrarse que solo su veracidad es consistente.

    Dicho de otra manera: El teorema de Gödel afirma que hay proposiciones indecidibles, pero no dice nada acerca de si son o no ciertas, y las hay de todo tipo, las ciertas, las falsas y las que no son lo uno ni lo otro (en realidad, habría que decir, las que pueden ser lo uno u lo otro, según cuál se elija como axioma en un nuevo sistema).

    Para finalizar: podría ocurrir que la conjetura fuera decidible y que tu suponer que es indedidible, por ser una hipótesis de partida falsa, te llevara a una contradicción, la paradoja apuntada. Habría que aclarar que ese no es el caso. Es decir, que la paradoja no es una contradicción, por lo dicho antes.

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  2. José Luis,
    utilizo "verdadero" y "falso" como abreviaturas; puedes reconstruir el argumento sustituyendo "la conjetura de Goldbach es falsa" por el enunciado "existe un número que no cumple la conjetura de Goldbach".
    La conclusión del argumento sería, por tanto

    no-C implica CD,
    (por tanto)
    no-CD implica C,
    (por tanto)
    no-CD implica no-(CD)D.

    Donde C es la conjetura de Goldbach, CD es el enunciado que dice que la conjetura de Goldbach es demostrable a partir de los axiomas de la aritmética elemental, y (CD)D es el enunciado que afirma que la indecidibilidad de la conjetura de goldbach es indecidible (de nuevo a partir de los axiomas citados).

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  3. ¿Que es más fácil resolver la conjetura de Goldbach o hackear el server de blogger?

    ¿Por cierto pagan algo al que resuelva la conjetura?

    Lo digo porque el matemático ruso Grigori, 'coleguita mio' resolvió la de Poincaré.El muy cabrón rechazó la medalla Fields y el premio de un millón de dólares otorgado por el Instituto Clay de Matemáticas.

    A ver si lo hago entrar en razón y nos repartimos unos cuartos. Ya tengo una distracción para cuando acabe el mundial.

    Por cierto no os perdáis al bueno de Freman aquí

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  4. Jesús:

    Pero no hay una demostración de qué teoremas son indecidibles. Sólo de que necesariamente los hay.

    Si la conjetura de Goldbach es falsa, un caso negativo lo demuestra y es, por tanto, decidible.

    Si es verdadera puede ser indemostrable.

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  5. Sursum:
    no hay una demostración de qué teoremas son indecidibles. Sólo de que necesariamente los hay.
    ¿Y quién dice lo contrario? Ese es el punto de la entrada, que algunas proposiciones indecidibles puede ser indemostrable que lo son.

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  6. Jesús:

    Es que si es falsa y se puede probar con un caso contrario, es decidible y se acabó el problema.

    No hay un argumento que diga:

    La conjetura de Goldbach es indecidible.

    y al cual puedas oponer que no se cumple para el número P.

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  7. Jesús:

    "Ese es el punto de la entrada, que algunas proposiciones indecidibles puede ser indemostrable que lo son."

    ¿Algunas? ¿No será TODAS?

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  8. Sursum:
    No hay un argumento que diga:
    La conjetura de Goldbach es indecidible y al cual puedas oponer que no se cumple para el número P.

    ¿Y qué? Estoy diciendo lo mismo que tú.
    .
    ¿Algunas? ¿No será TODAS?
    Pues no lo sé. El argumento se cumple para proposiciones del tipo "todo número n cumple la propiedad X", donde X es una propiedad que, para cada número, se puede verificar en un número finito de pasos. No creo que todas las propiedades que puedan tener los números sean así.

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  9. Hay muchas proposiciones cuya indecidibilidad en un sistema formal determinado se ha demostrado. Lo que no sé es si esa demostración se ha hecho dentro del sistema en que son indecidibles. La hipótesis del continuo en la teoría de conjuntos es un ejemplo.

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  10. y qué decir de intereconomía (la tele mala y fea que no nos gusta) y la multa que les han puesto (el buen ministro de las bombillas); a ver si vemos una defensa tan cerrada como la de krahe (debería serlo más, que esto es una decisión administrativa).
    Un saludo, defensores de lo bueno.

    IXX

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  11. José Luis:

    Queda claro que en este tema el que sabe eres tú. Pero la hipótesis del continuo no es que no pueda ser demostrada a partir de los axiomas de Peano sino que tanto su afirmación como su negación resultan compatibles con ellos. La conjetura de Goldbach parece que sólo puede ser verdadera o falsa.

    ¿Podríamos distinguir dos casos? Uno de ellos consistiría en proposiciones que requerirían infinitos pasos de demostración y otro, proposiciones totalmente ajenas a los axiomas. Por ejemplo: "el espacio tiene tres dimensiones" no depende de los axiomas de Euclides y es compatible con ellos tanto que tenga tres como que tenga siete.

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  12. A ver si aclaro un poco lo que dicho.

    La conjetura de Goldbach podría ser probada o refutada en el peor de los casos de no existir una demostración general mediante infinitas comprobaciones o mediante una demostración que requiriese infinitos pasos. Su verdad o falsedad, pero sólo una de las dos, se seguiría de los axiomas de la aritmética, aunque fuera imposible una demostración de un número finito de pasos.

    En cambio, los axiomas de Euclides son compatibles con la existencia de cualquier número de dimensiones mayor o igual que dos, si se presupone la definición de rectas y planos. "El espacio tiene tres dimensiones" sería tan compatible con los axiomas como su negación.

    Si consideramos los axiomas como las cadenas básicas de un tipo de símbolos y operaciones (y sus posibles interpretaciones), y los teoremas como las cadenas de símbolos que se pueden generar a partir de las básicas mediante sustituciones especificadas, la cuestión es si una cadena de símbolos pertenece o no pertenece al conjunto de los teoremas y si hay cadenas de símbolos que no pertenecen al conjunto de los teoremas y que interpretadas de un cierto modo puedan ser llamadas verdaderas.

    Lo llamativo es aquí la separación entre validez y verdad. Me gustarñia que habláseis sobre esto.

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  13. No sé si es válido el ejemplo, pero imaginemos el conjunto de posiciones de una partida de ajedrez. Sólo las posiciones que sigan las reglas de movimientos, aunque ambos jugadores sean incapces de cualquier estrategia y sólo de mover cada pieza según sus reglas y de aplicar las capturas.

    Está claro que es posible una posición con tres reinas cuatro caballos y un peón (por coronación de peones) pero parece que no es posible llegar a una en la que los ocho peones ocupen la primera fila y el resto de piezas ocupe la segunda. Y quizá alguien más ocurrente piense otras imposibles.

    La cuestión es que podemos manipular piezas, o símbolos de un lenguaje, a nuestro gusto sólo con respetar unas reglas. Por ejemplo que los dos alfiles blancos no pueden estar en casillas del mismo color o que "el galope caballeaba" no es idiomático. Pero la verdad es la correspondencia o no correspondencia con otro conjunto de elementos, cuyas estructuras básicas y de transformación pueden ser otras.

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  14. "La hipótesis del continuo no es que no pueda ser demostrada a partir de los axiomas de Peano sino que tanto su afirmación como su negación resultan compatibles con ellos."

    Supongo que quieres decir:

    "La hipótesis del continuo ADEMÁS de que no pueda ser demostrada a partir de los axiomas de Peano, tanto su afirmación como su negación resultan compatibles con ellos."

    "La conjetura de Goldbach parece que sólo puede ser verdadera o falsa."

    Eso parece, pero podría no ser así. También pareciera que o bien hay un infinito entre el numerable y la potencia del continuo o bien no lo hay y sin embargo cualquiera de las hipótesis es compatible en la teoría de conjuntos estándar.

    "¿Podríamos distinguir dos casos? Uno de ellos consistiría en proposiciones que requerirían infinitos pasos de demostración y otro, proposiciones totalmente ajenas a los axiomas."

    De momento, para saber si una proposición indecidible es verdadera, falsa o bien se puede aceptar su cualquiera de los dos valores no queda otra que examinarla y, si se deja, encontrar la demostración de cuál es el caso. A priori no hay manera de apelar a eso de los pasos infinitos de demostración para dilucidar la cuestión. Hay que ir una a una.

    Por otra parte, lo de los pasos infinitos de demostración no es un término bien definido. Para empezar, hay una jerarquía de infinitos. Para seguir, hay inducción matemática que resume un razonamiento infinito y hay incluso inducción transfinita. Hay demostraciones con infinitos pasos y luego se descubren demostraciones con pasos finitos.

    Para terminar, decir que: "las proposiciones indecidibles cuya afirmación o negación son compatibles con los axiomas son aquellas totalmente ajenas a los axiomas" no es más que repetir lo mismo y no sirve como criterio de clasificación o de distinción.

    Todo esto impide una clasificación a priori de las proposiciones indecidibles. Incluso impide decir que, aunque no sepamos cuál es el caso, (demostración infinita o ser axiomas que no tienen que ver con los primeros).

    Pones ejemplos en los que es posible hacerse una idea a priori de cuál es el caso. Desgraciadamente no todos los casos son así de sencillos.

    El número de dimensiones del espacio, por otra parte, es un ejemplo muy distinto del número de paralelas exteriores a una recta y que pasan por un punto. Lo primero puede ser bien definido de acuerdo con los axiomas. En el segundo ejemplo, el propio concepto de paralela no está bien definido a partir de los axiomas primeros (aunque nos parezca que sí por nuestra intuición errónea). No es que podamos elegir el número de paralelas, es que hasta que no definamos un nuevo axioma que lo permita, no podemos hablar en rigor de paralelas.

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  16. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  17. "Demostración" significa "demostración en un número FINITO de pasos"; si es NECESARIO dar un número infinito de pasos (aunque sea numerable) para demostrar una proposición, entonces es indemostrable. Los razonamientos por inducción se suelen dar en DOS pasos (lo que pasa es que uno de los pasos contiene una proposición universal, del tipo, para todo n, si P(n), entonces P(n+1)).

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  18. Sí, pero lo mismo que la inducción matemática al uso es un truco para resumir un número infinito contable de pasos, la transfinita resume un número infinito incontable de ellos. Hay que decidir si se aceptan estas cosas.

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  19. Para seguir, hay inducción matemática que resume un razonamiento infinito y hay incluso inducción transfinita.

    En efecto. Hay un ejemplo de proposición que sólo puede demostrarse con inducción transfinita en un apéndice de uno de los libros de divulgación de Penrose (The large, the small and the human mind).

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  20. En principio debo decir que aquel que lea este comentario se sentirá espantado o quizá jamas salga de su asombro.
    No tengo la instrucción matemática de un profesional, Aun así después de un largo periodo de trabajar en la conjetura Goldbach puedo decir que no es cierta.
    Como es posible? se preguntaran. La conjetura hizo que prácticamente enloqueciera. No Voy a dar detalles de mi descubrimiento en este sitio. Pero por mas que no lo puedan creer y no presten atención a este comentario yo les diré a todos, les diré que yo encontré el numero que rompe con la regla de que todo numero par es la suma de dos primos. Encontré la solución donde otros se hundieron y desesperaron. Yo hoy puedo decir que la conjetura de Goldbach a sido resuelta. Quien quiere saber mas detalles de mi descubrimiento debe contactarme y yo le daré detalles de mi proceso empleado. también cabe destacar que tuve que diseñar mis propios métodos para llegar a este hallazgo

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  21. Líber: con que dijeras el número sería suficiente (lo de "contactarte", así, sin datos ni dirección, es difícil).

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