11 de noviembre de 2010

MOZART RESURRECTUS


¿Existen (en el sentido de objetos matemáticos) las obras que Mozart HABRÍA compuesto entre 1792 y 1830 si hubiera seguido vivo, sano, activo e igual de creativo hasta esa última fecha?
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Saqué el tema hace algún tiempo aquí, pero ahora se ha avivado muchísimo la discusión gracias al ejercicio de espiritismo efectuado por Héctor en su blog "La Biblioteca de Babel", en donde os animo que entréis para participar en la discusión (mejor que en esta entrada).
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97 comentarios:

  1. Me he leído los veinte primeros comentarios y me he aburrido.
    A mi la proposición me parece idiota, pero seguramente es porque no comprendo la profundidad de lo que se postula.

    Me parece idiota porque en todo suceso como ese hay un elemento contingente.
    Si pudieras escribir todas las posibles obras musicales que siguen los criterios armónicos y formales del clasicismo, entre ellas es posible que estuvieran las obras que Mozart pudo haber escrito de haber vivido.
    Pero no sabes cuales son, de entre esos cientos de miles de millones. Y eso convierte en trivial el ejercicio mental. Porque la gracia estaría en saber cuales son.
    Porque también están las que hubiera escrito su hermana, los doscientos mil campesinos analfabetos de la zona, los tres millones de niños muertos de pequeños, los cien millones de hindúes y los diez mil millones de posibles humanos no concebidos.
    Todo eso si las circunstancias hubieran sido distintas: Lo mismo que suponer la circunstancia distinta de que Mozart hubiera vivido diez años más.

    En resumen: si mi abuela tuviera ruedas, sería una bicicleta.
    O un patinete.

    ¿Hay alguns obras entre esos cientos de miles de millones que podemos suponer que tienen más probabilidad que la mayoría de haber sido las que compusiera Mozart? Podemos hacer alguna suposición razonable en ese sentido, pero eso es un ejercicio distinto, e igualmente trivial por razones ligeramente distintas: porque serían composiciones genéricas de cualquier compositor rococó de por allí, no las que hubiera compuesto la persona concreta y ligeramente distinta a la que conocemos en que se hubiera convertido Mozart si hubiera vivido más.

    Cuanto más vivo, más me convenzo de que hay que ver cuanto daño ha hecho Platon.

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  2. Aloe:
    la "gracia" (o, mejor, desgracia) del ejemplo es que, SABIENDO que entre ese conjunto de posibles combinaciones de notas están obras que PODRÍA haber compuesto Mozart si hubiera seguido componiendo hasta la edad de Haydn, NO PODEMOS AVERIGUAR CUÁLES SON.
    .
    Como digo por algún sitio, se trata de un "experimento mental" para refutar la tesis de que "el estilo del clasicismo vienés (o el que sea) está 'agotado'": no, "agotado" no está: hay MILES de obras MARAVILLOSAS que se pueden escribir en ese estilo y que aún no han sido escritas.

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  3. Yo creo que está agotado por dos razones:
    - Una, que es un estilo en el que ya no puede haber compositores "sinceros", es decir, que no hicieran un mero pastiche de lo ya conocido. Y eso sería en efecto un mero pastiche de lo ya conocido, no lo más valioso, conmovedor, hermoso u original en el inmenso catálogo virtual de lo que no ha sido escrito.

    - Otra, que lo mismo que los dinosaurios actuales son las aves, el clasicismo rococó que falta en las estanterías... son las obras de Beetohoven, Schumann... etc., que se escribieron a continuación.
    Mozart se murió, pero Beethoven, que empezó escribiendo en el estilo rococó, no se murió tan pronto: fue cambiando de estilo, y quizá Mozart lo hubiera hecho también, no sabemos cómo. Aparentemente, para Beethoven y los otros compositores del momento que estaba agotado, o mejor dicho, estaba continuándose en estilos progresivamente diferentes.

    El ejercicio imaginativo me parece puramente platónico.
    Una obra musical es un contexto, un "oido" del oyente, un marco cultural, una forma de interpretarla: un objeto efímero.
    Igual de efímero aunque lo grabáramos para la eternidad.
    Sólo habríamos grabado su fósil. Un fósil es algo hermoso e interesante, pero ya no es un dinosaurio: una gallina viva sí lo es.

    Lo que digo: maldito Platón...

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  4. Áloe:
    me temo que hablamos de cosas distintas. Tú piensas en el mundo físico, y yo en combinaciones posibles de notas.

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  5. Tiene su gracia que este tema surja precisamente con Mozart, siendo el mismo Mozart un compositor que utilizó un generador combinatorio de valses, el famoso "juego de dados de Mozart".

    http://www.dpye.iimas.unam.mx/mozart/2.html

    El investigador de IA, Ramón López de Mántaras, define la creatividad como una exploración de un hipotético "espacio de conceptos" en la cual se combinan ideas ya conocidas y se tranforman bien mediante reglas conocidas, bien mediante transgresión de dichas reglas. Me parece que, por ejmplo, identificar el conjunto de todas las posibles obras de Mozart con uno de esos espacios de conceptos que se podría hipoteticamente recorrer y explorar nos llevaría a algo parecido-isomorfo al platonismo matemático. (Perdón si alguna de estas ideas ya ha surgido en el otro site, pero no he leido todos los comentarios de allí).

    Saludos.

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  6. Pero a las combinaciones posibles de notas les falta, para ser música, todo lo demás que digo: el marco musical y cultural, el oído educado de un oyente en esa forma musical, la interpretación concreta del músico instrumentista.

    Incluso en un sentido restringido, la notación musical no refleja, ni por asomo, toda la información necesaria para que esa música suene bien, no digamos para que suene en la interpretación más competente, más musical y más sabia posible.

    Si unos extraterrestres se hicieran con las combinaciones de notas y el código de la frecuencia de onda que corresponde a cada una, más las escasas indicaciones de acento, duración y tempo que tiene una partitura clásica (u otra) lo que les saldría al reproducirlo sería muy poco satisfactorio a nuestros oídos.

    Pero incluso si la notación fuera perfecta, creo que tendrían el mismo problema: no le verían la gracia, porque para ellos eso no sería nada.
    Y a lo mejor (eso es más dudoso, porque todos los humanos tenemos la música en el cerebro) pasaría lo mismo a unos tipos de una tribu San o de Sumatra. Claro que ellos, si se les dice que eso es música, probablemente se pondrían a interpretarla de manera que en efecto, les pareciera música, aunque la notación en ese caso sería "orientativa".

    En resumen: una combinación de notas en una máquina matemática combinatoria no es todavía música. Le faltan cosas para eso.
    Y si no llegó a ser música en su día, yo creo que perdiò la ocasión de existir: no hay tal cosa como un catálogo de Formas Ideales de obras musicales.

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  7. Juanjo
    , identificar el conjunto de todas las posibles obras de Mozart con uno de esos espacios de conceptos que se podría hipoteticamente recorrer y explorar
    bueno, yo no llego a tanto. Me limito a decir que, si Mozart hubiera seguido componiendo, habría compuesto algunas obras cuya partitura está entre las combinaciones de notas posibles, y que EN ESE SENTIDO, esas obras "existen" (como combinaciones de notas posibles). No creo que haya algo así como una fórmula o algoritmo para IDENTIFICAR, dentro del conjunto de TODAS las obras posibles, justo el de aquellas que habría compuesto Mozart.

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  8. Aloe:
    si todo eso no lo niego. Lo único que digo es que, si Mozart hubiera llegado a componer el concierto 28 para piano, tendríamos lo siguiente:
    a) en el espacio de todas las combinaciones posibles de notas, hay alguna (en realidad, muchísimas) tales que, si las IMPRIMES y se las das a una orquesta, te tocan lo que normalmente llamamos la sinfonía 40, y
    b) en ese mismo espacio también hay alguna combinación de notas tal que LA RELACIÓN QUE HAY ENTRE ELLA y el concierto 28 que HABRÍA compuesto Mozart (o, en realidad, UNO de los posibles "conciertos 28" que habría compuesto) ES LA MISMA RELACIÓN que hay entre las combinaciones de las que habla el caso "a" y la sinfonía 40.

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  9. Juanjo: Posiblemente tengas razón.
    Pero eso más bien abona la opinión de que, de todas las combinaciones resultantes, Mozart ya eligió las que consideraba valiosas, y desechó las otras, por lo que obtendríamos, no las "valiosas obras que Mozart no compuso", sino las que desechó y las variaciones parecidas, y por tanto, relativamente triviales como añadido, a las que efectivamente compuso.

    Eso no es decir que si hubiera vivido maś necesariamente se hubiera repetido hasta la banalidad (aunque hay bastante gente que sostiene eso): él hubiera podido ampliar las reglas, las trangresiones, los criterios de elección de tal combinatoria, que por tanto hubiera resultado en un espacio diferente.
    (De hecho es lo que hicieron sus contemporáneos maś originales y que le sobrevivieron)

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  10. Jesús: Pues te diria lo mismo que le digo a Juanjo.

    O la sinfonía 28 está dentro de la combinatoria posible que podemos deducir (hipotéticamente) de las obras que compuso, o no lo está.

    Si lo está, es una de las obras que Mozart no escribio porque eligió otras que le parecieron mejores.

    Si no lo está, es porque el Mozart superviviente habría cambiado ligeramente (o no tan ligeramente) las reglas de esa combinatoria que produce ese espacio: y en ese caso, ya no tenemos el catálogo hipotético de lo que pudo escribir, porque desconocemos las reglas modificadas.

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  11. (De hecho es lo que hicieron sus contemporáneos maś originales y que le sobrevivieron)
    No estoy negando en esta desafortunada frase originalidad a Mozart o calidad.
    Me refiero a "los más originales entre sus contemporáneos".

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  12. Cojamos de forma análoga entonces la demostración de P=NP. Esa demostración, sería al fin y al cabo una concatenación de símbolos matemáticos ( el análogo a la partitura), que estaría seguro entre todas las posibles combinaciones posibles de símbolos matemáticos ( Es más, sería posible numerarla tal y como hizo Gödel con su numeración de la aritmética), y usando el mismo sentido del sentido que tu dices, en ese sentido entonces EXISTIRIA.

    El problema es que a dia de hoy dicha demostración no se conoce y no se sabe si se podrá ó no demostrar. ¿Que pasaría si dicha demostración no existiese, o si probasemos su no existencia, o peor aún si fuese indecidible saber si es o no es demostrable?

    Esto me parece como lo del felino de Schroedinger, que mientras no se abra la caja no sabremos si vive o agotó todas sus vidas. Pues aquí igual, no sabremos si la demostración de P=NP existe o no mientras no la consigamos obtener.

    Creo que de la misma forma no tenenos forma de saber si tal o cual partitura habría sido hecha o no por Mozart, y no creo que sepamos si existe como "Partitura de Mozart", aunque igual si que existe sólo como partitura( lease, como concatenación de notas posibles dentro de ese inmenso espacio de todas las posibles notas). Que lío...

    Saludos.

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  13. Juanjo:
    que un teorema matemático sea demostrable significa que su demostración existe como combinación posible de números.
    La diferencia entre obras posibles y compuestas y obras posibles y no compuestas no es como la diferencia ente teoremas demostrados y teoremas que no sabemos si son demostrables, sino entre teoremas demostrables y demostrados, y teoremas demostrables pero no demostrados.
    .
    Si Mozart hubiera compuesto el concierto 28, sería ALGUNA de las combinaciones posibles de notas.

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  14. Pues que no le veo sentido alguno al ejercicio.

    Y en el fondo, que no me creo que hay un limbo de Formas Ideales platónicas.
    Y si lo hay, la música no está allí.

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  15. Busquen en pi: si es normal, las hipotéticas obras de Mozart, están codificadas en alguna secuencia de sus infinitos decimales. Y también este comentario y su posible contestación.
    ¿Existe pi?

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  16. Ranton:
    pues no tengo ni idea, pero, por lo que me parece, no es necesario que un número irracional contenga CUALQUIER secuencia de decimales; p.ej., el número
    0
    coma
    1
    22
    333
    4444
    55555
    666666
    7777777
    88888888
    999999999
    0000000000
    11111111111
    222222222222
    3333333333333
    etc.
    es irracional, pero no contiene todas las secuencias posibles de números.

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  17. Aloe:
    no me creo que hay un limbo de Formas Ideales platónicas
    Yo tampoco. Pero creo que existe un número que es el menor primo mayor que 10^(10^10).
    .
    si lo hay, la música no está allí.
    No "está" en el sentido de que allí no suena. Pero piensa en un CD con la 5ª de Beethoven, que al fin y al cabo es una serie de ceros y unos.

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  18. Claro, todos los irracionales no son "normales".

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  19. Ranstom:
    es que no sé por qué tiene que ser "normal" que en un irracional se pueda encontrar CUALQUIER combinación finita de dígitos, aunque tal vez tengas razón, no lo sé.

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  20. Gracias, Ejecución, no conocía el concepto. Aunque, al tratarse posiblemente de una propiedad que depende la notación, no debe ser una propiedad "intrínseca" de cada número, ¿no?

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  21. Por cierto, Íñiguez, hay una CUARTA posibilidad:
    reconocer que nos queda mucho por saber, y que, mientras no tengamos motivos para pensar que ALGUNA teoría de variables ocultas es EN DEFINITIVA más adecuada empíricamente que CUALQUIER teoría sin variables ocultas, pues lo más HONESTO que podemos hacer es reconocer nuestra ignorancia.
    Por cierto, no hay ninguna razón "lógica" por la que tenga que haber algo así como un "último" nivel, en el cual, o bien todo sea determinista, o bien haya azar; OTRAS posibilidades son:
    A) que CADA nivel dependa de otro más profundo, y que las leyes del nivel -n pueden ser deterministas o indeterministas INDEPENTEMENTE de cómo sean las del nivel -(n+1);
    B) que haya alguna posibilidad DIFERENTE de las opciones "determinismo" y "azar", que no se nos haya ocurrido todavía.

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  22. Una tarjeta de telar Jacquard, en la prehistoria del concepto "codigo" para no poner comparaciones maś equívocas, también era una representación adecuada y sin ambigüedad, dada la tecnologia y el contexto adecuado, de una mantita abrigada y monísima.
    Pero la tarjeta, y el código de la tarjeta, ni abriga nada, ni tiene colores.

    Una noción matemática, en sí misma, no es siempre un código de otra cosa, sino que es ella misma y punto. O código de sí misma y punto.

    Pero al resto de los códigos no les pasa eso.

    Además de maldecir a Platón, voy a empezar a maldecir a Ari y su "forma" o "causa formal" de un momento a otro.
    El concepto de código no lo tenemos maś que desde hace un par de siglos, es cierto. No tiene pedigrí barbudo, es cierto.

    Pero ya lo podíamos irlo asumiendo, digo yo.

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  23. Áloe:
    Una tarjeta de telar Jacquard, en la prehistoria del concepto "codigo" para no poner comparaciones maś equívocas, también era una representación adecuada y sin ambigüedad, dada la tecnologia y el contexto adecuado, de una mantita abrigada y monísima.
    Pero la tarjeta, y el código de la tarjeta, ni abriga nada, ni tiene colores.

    Creo que sabes que lo sé perfectamente, y que no tiene nada que ver con lo que estoy diciendo.
    Piensa en otro ejemplo, ¿en 1880 no existía ninguna combinación POSIBLE de letras y signos de puntuación, que si se escribiera por azar, resultase ser IGUAL que el soneto "al ciprés de Silos"? Me parece obvio que SÍ que existía (como POSIBILIDAD).
    .
    Una noción matemática, en sí misma, no es siempre un código de otra cosa, sino que es ella misma y punto. O código de sí misma y punto.
    Y qué. Pero yo no estoy hablando de nociones matemáticas PURAS, sino de COMBINACIONES DE SIGNOS HECHAS DE ACUERDO CON LAS REGLAS DE CIERTO LENGUAJE (verbal o musical).
    .
    Por cierto, creo que se equivocan quienes quieren ver en esto algún tipo de "platonismo". No tiene ningún MISTERIO el hecho de que exista el menor primo mayor que 10^(10^10), ni de que AHORA existe una combinación de teclas que TÚ podrías escribir en word, y que SERÍA igual al primer soneto que se escriba en España el año 2015 (solo que no tenemos ni idea de que combinación de teclas es).

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  24. Jesús,

    ...no debe ser una propiedad "intrínseca" de cada número, ¿no?

    Eso mismo pensaba yo cuando colgaba del enlace. De hecho, había pensado que es probable que el número que le ponías como ejemplo a Ranstom fuera "normal" en alguna base distinta a la decimal.

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  25. Pero si estoy de acuerdo con lo que dices.

    Solo que lo mismo que las tarjetas de telar jacquard no abrigan, por mucho que codifiquen cómo se hace una manta, yo creo que un código binario o analógico, o como sea, no es música, por mucho que codifique como se hace una musica.

    Entre los millones de combinaciones arbitrarias que podemos hacer con cualquier sistema que utilicemos como código,y que podemos descodificar como si fueran de verdad el código de algo, un cierto número coincidirán, ciertamente, con algo que tenga sentido según las reglas de ese código.
    Pero el sentido lo ponemos nosotros, y ponerle ese sentido es la única manera de discriminar esas pocas formas de los otros millones que no signfican nada.

    Ahora dirás: Pues sí, pero es precisamente lo que yo digo: que esas formas están ahí.

    Pues vale, pero es que la cosa me parece tan trivial como encontrar dibujos en las nubes y sacar conclusiones de ello: es más o menos lo mismo.

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  26. Áloe:
    creo que un código binario o analógico, o como sea, no es música, por mucho que codifique como se hace una musica... el sentido lo ponemos nosotros
    ¿Y quién dice lo contrario?
    Claro, que según eso TAMPOCO era música la 9ª de Beethoven hasta que sonó en los ensayos.
    .
    la cosa me parece tan trivial como encontrar dibujos en las nubes y sacar conclusiones de ello: es más o menos lo mismo.
    No, en eso te equivocas. Si Mozart hubiera seguido vivo y componiendo, no habría compuesto "patrones aleatorios como los de las nubes", sino obras con una estructura acojonantemente maravillosa (es de suponer). Lo que yo digo es que la combinación de notas que consistiría en la partitura de ESAS obras, es una combinación que existe entre todas las combinaciones posibles... ¡¡¡lo que quiere decir que, en principio, podríamos encontrarla, transcribirla, y hacerla sonar!!! Y no sonaría como un patrón aleatorio. Lo malo es que con Mozart se perdió el mapa que nos habría podido llevar hasta ESA combinación de notas.
    .
    Así que la conclusión del cuento es que, en principio, no hay un impedimento LÓGICO a la posibilidad de crear obras nuevas que "suenen" a Mozart Y SEAN TAN MARAVILLOSAS COMO LAS MEJORES DE LAS SUYAS. Parece que hemos perdido la habilidad de hacerlas, pero con el progreso de la informática y la neurología, a lo mejor lo consigamos algún día, y se ponga de moda componer obras MARAVILLOSAS "pseudohistóricas". Obras que si, dentro de 500 años han olvidado lo suficente de la biografía y el catálogo de Mozart o Beethoven, la gente no tuviera razones para poner en duda que esas obras "artificiales" ERAN TAMBIÉN de aquellos compositores.

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  27. Veo que lo de las nubes no lo has entendido (o no me he hecho entender).
    Lo que equivaldría es que nosotros buscásemos patrones en las nubes, en busca de las pinturas acojonantes que Leonardo no pintó. O que Leonardo sí pintó. O que Picasso podría haber pintado, si hubiera sido hindú. O que Picasso sí pintó.

    Y, con suficiente número de nubes, también puedes decir que están ahí.

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  28. El caso es que si "existen" las obras que Mozart habría escrito, también "existe" el Mozart que habría vivido para poderlas escribir. Hay un Mozart que murió viejo en alguna parte. O no?

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  29. Anónimo:
    No. Las "obras" a las que me refiero son COMBINACIONES LÓGICAS DE SÍMBOLOS, no son objetos materiales (es como cuando digo que existe la solución de un sistema de ecuaciones). Fíjate en la diferencia entre Las Meninas y la Sinfonía 40. Si Las Meninas se quemaran, ya no existiría; si la partitura original de la Sinfonía 40 se quemara, ¿ya no existiría la sinfonía?
    Una copia de Las Meninas, por muy buena que sea, NO ES las Meninas. Pero de la sinfonía 40 SÓLO NOS INTERESAN LAS COPIAS (el manuscrito original puede tener valor, pero no ES la obra).
    Por eso, la existencia de las obras es distinta de la existencia de Mozart.

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  30. La existencia de las obras que habrían sido escritas por Mozart es equivalente a la existencia de las obras que Mozart habría escrito. Tienen que existir o no existir los 2. Las Meninas no es más que una combinación de colores en diferentes trazos. Por supuesto que a pesar de su complejidad es especificable con un código. Si existen todas las obras musicales, existen las pictóricas. Lo que ocurre es que de la pintura no vemos el código, vemos la obra, mientras que con las partituras tenemos un código de la obra musical. Pongamos el caso de una hipótetica máquina que pintara, y que registrara en una memoria sus obras codificadas, pues entonces, lo podríamos imprimir y tendríamos una "partitura". Otra cuestión es: desde cuando existen las obras que Mozart podría haber escrito? Cómo objetos matemáticos, la respuesta ha de ser desde siempre. Y digo yo, antes de que existieran las partituras, ya existían. Así, tampoco existen las "partituras" de las pinturas. Bueno, por lo menos, no son del conocimiento general, pero aunque no existieran, si existen todas las obras musicales, existen las pictóricas. Claro, el lienzo original, el marco... Pero la distinción entre original y copia cabe igual en ambos casos. Que valoremos la obra original en la pintura y sólo como obra de arte la codificación en la composición
    musical no tiene nada que ver con la existencia de cosas que podrían haber sido.

    Las posibilidades no existen. No se puede decir que tal o cual obra que habría escrito Mozart existe igual que "La flauta mágica". Cómo no puede existir menos, pues la existencia no es cuestión de grado, directamente una existe y otra no. Claro, para tí sí existe pero no la hemos descubierto, pero lo mismo se podría decir de cualquier invento: "he descubierto que si aplico una corriente de tal intensidad sobre tal material, sube su temperatura, y con eso puedo calentar tal y cual..." y luego con´la fabricación de modelos igual. "he descubierto que este tamaño gusta más, y este color también..." Pues eso, y no sé que narices hago escribiendo sobre esta parida cuando tengo toda la casa por hacer.

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  31. Una puntualización:
    "No se puede decir que tal o cual obra que habría escrito Mozart existe igual que "La flauta mágica"".

    Olvídate de eso, quiero decir que no existen igual las obras que escribió Mozart que las que podría haber escrito y ni él ni nadie han escrito. Cosa diferente es decir que se haya escrito una obra que aunque no es de Mozart, creemos que podría haberla escrito él. Pero aquí la obra está escrita, por eso existe, y su autor no es Mozart aunque nos recuerde las suyas.

    Y ya dejo el tema.

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  32. Las Meninas no es más que una combinación de colores en diferentes trazos
    No. Una copia "exacta" de Las Meninas NO ES Las Meninas, sino una réplica. Por supuesto, la creación de Velázquez es TANTO un objeto físico particular, como un PATRÓN DE FIGURAS Y COLORES, como lo demuestra el hecho de que puede haber relaciones de propiedad con ambas cosas por separado (p.ej., yo puedo poseer un cuadro -el original-, y otra persona poseer los derechos de reproducción; lo que poseería esta segunda persona sería lo análogo a una "obra musical" en el sentido que estoy discutiendo aquí).
    .
    de la pintura no vemos el código, vemos la obra
    Claro que lo "vemos", y no sólo eso, sino que, como digo, puede estar registrado en el registro de la propiedad, y venderse y comprarse.
    .
    desde cuando existen las obras que Mozart podría haber escrito?
    Es que, como son combinaciones lógicas de símbolos, la pregunta no tiene sentido (es como preguntar cuál es la carga eléctrica de una corchea).
    .
    si existen todas las obras musicales, existen las pictóricas.
    Totalmente de acuerdo, siempre que al hablar de la "obra" distingas el PATRÓN, del OBJETO ORIGINAL. Lo segundo no tiene por qué existir.
    .
    Que valoremos la obra original en la pintura y sólo como obra de arte la codificación en la composición musical no tiene nada que ver con la existencia de cosas que podrían haber sido.
    Insisto, eso sólo es cierto si ADMITES NO REFERIRTE AL CUADRO CONCRETO QUE ESTÁ EN EL PRADO CUANDO DICES "LAS MENINAS". En ESE sentido (es decir, las obras pictóricas posibles como PATRONES de figuras y colores), por supuesto que existen IGUAL que las obras musicales posibles.
    .
    Las posibilidades no existen
    Cómo que no. Decir "existe la posibilidad de que el gordo de la lotería de navidad sea este año el 45.553" es lo mismo que decir "es posible que el gordo de la lotería de navidad sea este año el 45.553". Existe la posibilidad de que el PSOE saque 40 escaños en las próximas elecciones catalanas, la posibilidad de que saque 35, etc.
    .
    para tí sí existe pero no la hemos descubierto, pero lo mismo se podría decir de cualquier invento:
    Efectivamente.
    .

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  33. No tienes razón Jesús, como por otra parte ocurre muchas veces. Piensa que existe lo que te dé la gana, pero eso no lo hará real.

    Es una delicia ver como repites las mismas equivocadas cosas una y otra vez.

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  34. Bueno, quizás he sido muy duro. Pero es que no tienes razón, y muchas veces no la tienes y tú a repetirte y repetirte. Me lo tomo con humor y por eso digo que es una delicia, pq me parece gracioso. Nada, tú eres así.Pero podrías ser mejor. Yo también, por supuesto.

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  35. Querido/a Anónimo:
    tal vez tengas tú razón, pero no pareces capaz de conseguir que yo entienda por qué.
    O tal vez tenga yo razón, y pase al revés, así que haré un último intento.
    Primero, ¿estás de acuerdo conmigo en que tienen perfecto sentido frases como "existe la solución de la ecuación ax = 2, siempre que a sea distinto de 0", o "existe el menor número primo mayor que 10 elevado a (10 elevado a 10)"?
    Si respondes que no, puedes dejar de leer esta entrada o el blog, si quieres.
    Si respondes que sí, bueno, algo hemos avanzado: ahora sabes a qué me refiero cuando hablo de "existir" en esta discusión.
    Pues bien, en ESE sentido de existir, piensa ahora en lo siguiente: te doy una página de word en DIN A-4, y puedes escribir en ella CUALQUIER combinación de símbolos, con la única condición de utilizar el tamaño de letra 12, doble espacio, y sólo los símbolos que aparecen en tu teclado. La siguiente pregunta es, ¿existe ALGUNA combinación de símbolos que pudieras teclear, que daría como resultado una copia del poema de Gerardo Diego, "El ciprés de Silos"?
    Si respondes que no, ya hemos terminado.
    Si respondes que sí, ya estamos de acuerdo sobre de qué tipo de COSAS estamos hablando: combinaciones POSIBLES de símbolos.
    .
    Siguiente pregunta: de entre esas combinaciones de símbolos, ¿existe alguna que vaya a ser idéntica al primer soneto que se componga en castellano el año que viene en algún lugar del mundo?
    Si respondes que no, fin de la discusión.
    Si respondes que sí, ya coincidimos en que HAY combinaciones de letras que corresponden a poemas que NO HAN SIDO ESCRITOS (pero que VAN a ser escritos).
    Nueva pregunta: ¿existe alguna combinación de letras que corresponda a un soneto QUE NUNCA VA A COMPONER NADIE?
    Si la respuesta es no, fin de la discusión.
    Si la respuesta es sí, coincidimos en que EXISTEN COMBINACIONES DE LETRAS que corresponden a obras que NUNCA "existirán" (en el sentido de que nunca serán COMPUESTAS).
    Y última pregunta: De entre esos sonetos QUE NUNCA NADIE COMPONDRÁ JAMÁS, ¿hay alguno que alguien PODRÍA haber compuesto, aunque DE HECHO no lo haya compuesto?
    Si respondes que no, eso tiene una consecuencia muy extraña: fíjate que lo que dices en tal caso es que NO EXISTE NINGÚN SONETO POSIBLE QUE ALGUIEN PODRÍA HABER ESCRITO PERO NO HA ESCRITO, o sea, SÓLO ES POSIBLE ESCRIBIR LOS SONETOS QUE DE HECHO SE HAN ESCRITO, o sea, LOS SONETOS QUE, UNA VEZ TERMINADA LA ESPECIE HUMANA, NO SE HAYAN ESCRITO, ES QUE NO SE PODÍAN ESCRIBIR. Realmente, tendrás que darme un argumento muy fuerte pera convencerme de una cosa así. A mí me parece obvio que hay sonetos QUE NUNCA SE ESCRIBIRÁN, pero que PODRÍAN haberse escrito, y me parece obvio que un soneto que YO podría haber escrito, corresponde a alguno de los sonetos posibles.

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  36. Jesús, te agradezco tu intento de convencerme. Yo no intento lo propio, pues sé que es un intento condenado al fracaso. Sin embargo, sí quiero justificar porqué no estoy de acuerdo de contigo. Es en este punto donde, a pesar de estar de acuerdo con cosas que dices, no puedo concluir que las obras que Mozart podría haber escrito existen:

    "LOS SONETOS QUE, UNA VEZ TERMINADA LA ESPECIE HUMANA, NO SE HAYAN ESCRITO, ES QUE NO SE PODÍAN ESCRIBIR." No, no, eso es estúpido por supuesto. Yo diría:LOS SONETOS QUE, UNA VEZ TERMINADA LA ESPECIE HUMANA, NO SE HAYAN ESCRITO, ES QUE NO HAN EXISTIDO."

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  37. Es que perdona si te interpreto mal, pero creo que tú quieres decir que esos sonetos existen aunque no se hayan compuesto y no existan seres humanos

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  38. Anónimo:
    Yo diría:LOS SONETOS QUE, UNA VEZ TERMINADA LA ESPECIE HUMANA, NO SE HAYAN ESCRITO, ES QUE NO HAN EXISTIDO
    Ya lo veo, pero es que, si dices eso, es que no has entendido lo que estoy diciendo.
    ¿Qué quieres decir con "un soneto", cuando dices "existe un soneto"?
    Puedes querer decir DOS cosas:
    1) si te refieres a sonetos QUE ALGUIEN HA ESCRITO DE HECHO, te estás refiriendo a UNA cosa.
    2) si te refieres a COMBINACIONES POSIBLES DE SÍMBOLOS, que si las escribiéramos (aunque nadie lo haya hecho) las consideraríamos como un soneto, entonces te estás refiriendo a OTRA cosa. Y es a esta SEGUNDA cosa a la que yo me estoy refiriendo aquí: ¡claro que un soneto que nadie ha escrito "no existe" -en el primer sentido-!, y ¡claro que una combinación de letras que cumple las propiedades que tiene que tener un soneto ES un soneto aunque nadie la haya escrito nunca, y EXISTE como combinación posible de símbolos -o sea, el segundo sentido-!
    (Me da la impresión de que no has seguido con cuidado todas las preguntas de mi comentario anterior).

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  39. He leído hasta aquí de tu respuesta:
    Anónimo:
    Yo diría:LOS SONETOS QUE, UNA VEZ TERMINADA LA ESPECIE HUMANA, NO SE HAYAN ESCRITO, ES QUE NO HAN EXISTIDO
    Ya lo veo, pero es que, si dices eso, es que no has entendido lo que estoy diciendo.

    Es que mira, las soluciones a las ecuaciones no existen del mismo modo que los sonetos. Este es el punto del debate, que me recuerda a un tipo... si, Platón. Yo digo que la palabra "existir" en matemáticas no es intercambiable por el "existir" sensible a los sentidos.

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  40. Anónimo:
    las soluciones a las ecuaciones no existen del mismo modo que los sonetos. Este es el punto del debate
    ¿Cómo que no?
    De todos los números, algunos solucionan una ecuación, y otros no.
    De todas las combinaciones de letras que puedes escribir en una página de word (en las condiciones que te he dicho), algunas son sonetos y otras no (supongo que no hace falta que te recuerde la definición de un soneto).
    .
    Yo me estoy refiriendo SIEMPRE a exstir EN SENTIDO MATEMÁTICO; los sonetos son un SUBCONJUNTO de las combinaciones de letras posibles, y el conjunto de combinaciones de letras posibles es un objeto matemático como lo es cualquier otro objeto matemático (en teoría de conjuntos, en particular).

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  41. Jesús,

    Tengo la impresión de que todos (yo el primero) hemos ofrecido muchas a la pregunta fácil y hemos dejado intacta la difícil, la incómoda, la que parece sacar de quicio a más de uno.

    La fácil es la que tú planteas: "¿Existen (en el sentido de objetos matemáticos)...?". Y la difícil es la que está debajo, la implícita: ¿Y qué sentido es ese? ¿En qué sentido existen los objetos matemáticos?

    Para ganar tiempo, yo anticipo desde ahora mismo que no se me ocurre ninguna respuesta que merezca la pena.

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  42. Ejecución, es que lo ÚNICO que necesitas saber para responder a esa pregunta es la lógica de los cuantificadores. No hay "distintos tipos de existencia", sino diversas circunstancias sobre las que es útil hablar de "existencia".
    Si me preguntas "¿existen los perros?", ¿qué respuesta mejor que "sí; p.ej., Fido es el perro de mi abuela"?
    Si me preguntas "¿existen los números?", ¿qué mejor respuesta que "sí, p.ej., el 27 es un número?".
    Si me dices "pero es que el perro lo veo, y el número no", yo te responderé "pero es que no me preguntaste sobre si se ve el perro, sino sobre si existe, y lo mismo sobre el número". Las cosas que se hacen para averiguar si existe cierto número no son las mismas cosas que se hacen para averiguar si existe un cierto perro.

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  43. Es que yo no te pregunto si existen los perros o si existen los números, lo que te pregunto es: ¿en qué sentido dices que existen los números?, ¿qué quieres decir tú al decir que existen los números?

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  44. En sentido matemático, existen las combinaciones que se quiera de símbolos, pero suscribo este párrafo de "¿Es Dios un matemático?" de Mario Livio:

    "En otras palabras, Tegmark no demuestra en ningún momento que nuestra matemática no ha sido inventada por los seres humanos, sino que se limita a darlo por sentado. Además, tal como señala el neurobiólogo francés Pierre Changeux en respuesta a una tesis similar: Afirmar la realidad física de los objetos matemáticos en el mismo nivel que los fenómenos naturales que se estudian en biología plantea, en mi opinión, un considerable problema epistemológico. ¿Cómo puede un estado físico interno de nuestro cerebro representar otro estado físico externo a él?"

    Bueno, pues esta es mi posición. Ahora si que dejo el debate, que ya está bien.

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  45. Ejecución:
    es que no sé qué quiere decir la pregunta "¿en qué sentido existe?". Caramba, ¿en qué sentido existe el 27? Pues en el sentido de que va después del 26 y antes del 28, de que es el cubo de 3, y cosas así. No veo qué MÁS se puede pretender saber.

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  46. Anónimo:
    no tengo ni idea de en qué sentido la cita que pones apoya una cosa o la otra.
    Por ceirto, ¿he hablado yo alguna vez de la "existencia física de los objetos matemáticos"?

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  47. Jesús,

    es que no sé qué quiere decir la pregunta "¿en qué sentido existe?".

    Me parecía una pregunta bastante clara, pero intentaré aclararla aún más. A ver si lo consigo:

    Tú dices que existe la luna y que existe el número 27. ¿Por qué utilizas la misma palabra ("existir") para la luna y para el número 27? ¿En qué se parece y en qué se diferencia, si es que se parece o se diferencia en algo, el "existir" del satélite y el existir de ese número natural?

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  48. Por cierto, Jesús: en tu último mensaje me presentas varias definiciones equivalentes del número 27 como respuesta a la pregunta "¿En qué sentido decimos que existe el número 27?".

    Esas definiciones, posibles en principio para cualquier número natural, nos están vedadas absolutamente para la mayoría de los números reales. ¿Podemos decir que existen esos números reales?

    (Tengo que salir. Hasta mañana).

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  49. Ejecución:
    ¿Por qué utilizas la misma palabra ("existir") para la luna y para el número 27? ¿En qué se parece y en qué se diferencia, si es que se parece o se diferencia en algo, el "existir" del satélite y el existir de ese número natural?
    Porque en ambos casos la lógica del cuantificador es la misma. Recuerda que el cuantificador NO ES UN PREDICADO, no dice ninguna PROPIEDAD de los objetos a los que se aplica.
    .
    me presentas varias definiciones equivalentes del número 27
    No, no lo presento como DEFINICIONES, sino como cosas que son verdaderas sobre el número 27, y que te pueden servir para IDENTIFICARLO si con alguna de ellas no te resulta muy claro. Naturalmente, no necesitamos poder IDENTIFICAR a un objeto para conocer su existencia; p.ej., podemos tener un tiranosaurio fósil; sabemos que existió su madre, pero no tenemos forma de encontrar algo y decir "mira, ÉSA es la madre del tiranosaurio que hay en el museo". Con los entes matemáticos, igual: una cosa son los argumentos para saber que existen, y otra para saber CUÁLES son (p.ej., sabemos que existe un número natural que es el menor primo mayor que 10^(10^10), pero no sabemos cuál es).

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  50. Jesús:

    Porque en ambos casos la lógica del cuantificador

    Estoy bastante verde en lógica. Te agradecería alguna pista que me indicara por dónde van los tiros.

    No, no lo presento como DEFINICIONES, sino como cosas que son verdaderas sobre el número 27, y que te pueden servir para IDENTIFICARLO si con alguna de ellas no te resulta muy claro.

    ¿Si no me resulta claro el qué?

    Naturalmente, no necesitamos poder IDENTIFICAR a un objeto para conocer su existencia; p.ej., podemos tener un tiranosaurio fósil; sabemos que existió su madre, pero no tenemos forma de encontrar algo y decir "mira, ÉSA es la madre del tiranosaurio que hay en el museo".

    Me parece que este párrafo confunde "identificar" y "encontrar". La madre de ese tiranosaurio fósil queda perfectamente identificada con esas palabras ("La madre de ese tiranosaurio fósil"), aunque jamás encontremos ni un sólo resto suyo.

    Con los entes matemáticos, igual: una cosa son los argumentos para saber que existen, y otra para saber CUÁLES son (p.ej., sabemos que existe un número natural que es el menor primo mayor que 10^(10^10), pero no sabemos cuál es).

    Sabemos cuál es: es, exactamente, "el menor primo mayor que diez elevado a diez elevado a diez". Lo que no sabemos es cuántas cifras tiene, ni cuáles pueden ser las dos primeras, pero al menos sabemos qué tendríamos que hacer para saberlo si tuviéramos tiempo e interés. Con la mayoría de los números reales no tenemos nada parecido.

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  51. Otra cosa sobre la tiranousaria desconocida y los números impensables, que es donde está la miga del debate, a mi entender.

    Tal como yo lo veo, la tiranosauria gozó de una existencia muy coherente con el prefijo "ex-" de la palabra: su masa ocupó un espacio y un tiempo, más allá del cerebro de algún hombre.
    Esto está bastante claro salvo para los filósofos idealistas (en su vida profesional, por supuesto, no en su vida diaria).

    Con los números, en cambio, todo parece mucho más dudoso. Yo, al menos, no tengo claro que los números impensables no supongan un problema para la cuestión de la existencia (o al menos un incordio), o que pueda despacharse como carente de sentido el debate acerca de si los objetos matemáticos se crean o se descubren, pongo por caso.

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  52. Ejecución:
    alguna pista
    Puedes ver aquí, p.ej. La idea es que los símbolos lógicos tienen un significado que depende de las inferencias que puedes hacer a partir de proposiciones que los contienen, o que llevan como conclusión a una proposición que los contienen (tal como se expresa en las reglas del Cálculo de Deducción Natural).
    .
    ¿Si no me resulta claro el qué?
    Pues a qué me estoy refiriendo.
    .
    este párrafo confunde "identificar" y "encontrar".
    Exacto, me refiero a "encontrar".
    .
    Sabemos cuál es: es, exactamente, "el menor primo mayor que diez elevado a diez elevado a diez".
    No, no sabemos cuál es. Fíjate en la diferencia con "el menor primo mayor que 20". Es como decir que sabemos que alguien mató a Tutankamón, pero no sabemos quién.
    .
    al menos sabemos qué tendríamos que hacer para saberlo si tuviéramos tiempo e interés.
    En ese ejemplo sí, pero hay otros en los que no; p.ej., sabemos que existe el número pi, pero no sabemos realmente cuál es (no conocemos NI PODEMOS CONOCER todos sus decimales).

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  53. Ejecución:
    una existencia muy coherente con el prefijo "ex-" de la palabra: su masa ocupó un espacio y un tiempo, más allá del cerebro de algún hombre.
    La etimología confunde tanto como enseña. Bueno, me corrijo: confunde MÁS que enseña. Dilo mejor en alemán ("es gibt", o sea "se da" un número tal que...). O en japonés (que no tengo ni idea de cómo se dirá).
    .
    Con los números, en cambio, todo parece mucho más dudoso.
    Pero eso es porque sigues empeñado en que tiene que haber "algún sentido profundo" en el que los números existen, y lo que yo te digo es que TE QUEDES EN LA SUPERFICIE, es decir, en las proposiciones matemáticas SOBRE LAS QUE NO TENEMOS NINGUNA DUDA (o no más que sobre cuestiones fácticas): p.ej., "pi tiene infinitas cifras", o sea, "EXISTEN infinitas cifras decimales en la expresión de pi", o "existen más números reales que racionales, pero existen tantos números racionales como números naturales". No veo ABSOLUTAMENTE NINGÚN MISTERIO ahí.

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  54. Jesús:

    Gracias por el enlace.

    No, no sabemos cuál es. Fíjate en la diferencia con "el menor primo mayor que 20". Es como decir que sabemos que alguien mató a Tutankamón

    No, no es igual. La expresión "el menor primo mayor que 10^(10^10)" proporciona todos los datos necesarios para encontrar la expresión decimal de ese número, por ejemplo, mientras que la expresión "el hombre que mató a Tutankamón" no nos permite conocer su nombre.

    En ese ejemplo sí, pero hay otros en los que no

    No importa, cualquier ejemplo de objeto matemático indefinible sirve para plantear la pregunta: ¿podemos decir que existe ese objeto?

    sabemos que existe el número pi, pero no sabemos realmente cuál es (no conocemos NI PODEMOS CONOCER todos sus decimales).

    No entiendo qué quieres decir con "no podemos saber cuál es". Es el número que expresa la razón entre una circunferencia y su diámetro.

    Por lo demás, no podemos conocer todos sus decimales, pero podemos conocer cualquiera de ellos.

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  55. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  56. Jesús

    Pero eso es porque sigues empeñado en que tiene que haber "algún sentido profundo" en el que los números existen

    En absoluto. Lo que hago es limitarme a constatar que la cuestión es problemática, por mucha prisa que tengamos en darla por amortizada y en huir de ella como de la peste (o, peor aun, como de la metafísica).

    Que hay un problema lo demuestra, por ejemplo, el viejo debate ya citado: ¿descubrimos o inventamos los objetos matemáticos?

    Lo demuestra la réplica de Russell a quienes sostenían que los objetos matemáticos son meras ficciones: que el problema es, precisamente, que no son "meras" ficciones.

    Lo demuestra el hecho de que no podamos responder con facilidad a preguntas del tipo: ¿existe Don Quijote en el mismo sentido que existe el número pi?

    Lo demuestra el hecho de que entendemos, o creemos entender sin problemas, afirmaciones como "el número pi no existe realmente".

    O lo demuestra, sin ir más lejos, tu resistencia a aceptar que el matemático de tu cuento nunca tuvo entre sus manos una demostración de la conjetura de Goldbach ("Pero no quiero tirar a la basura completamente la intuición de que EN ALGÚN SENTIDO RELEVANTE, Teodoro sí que tuvo en sus manos la demostración del teorema").

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  57. Por cierto, y para evitar malentendidos engorrosos: yo estoy convencido, imagino que como casi todos, de que este problema de la existencia de los números es en realidad un pseudoproblema, poco más que un enredo del lenguaje.

    Entiendo, sin embargo, que todavía no se ha explicado dónde está ese enredo o, para decirlo con nombres propios, que todavía no ha aparecido un Russell con una teoría de las descripciones que lo aclare para siempre.

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  58. Ejecución:
    pero, ¿qué quieres decir con "sentido" cuando preguntas "en qué sentido decimos que..."? ¿En qué sentido dices que los electrones tienen carga, en qué sentido dices que lo que tiene el espacio son dimensiones? NO TODOS LOS CONCEPTOS SE PUEDEN DEFINIR (eso es la "paradoja" del diccionario: si intentas definir todas las palabras del diccionario sin incurrir en ningún círculo, no puedes hacerlo), sino que al final, algunos conceptos (si es que no todos) consisten en el USO que hacemos de ellos. USAMOS "existir" para decir que entre dos números racionales siempre existe otro número racional, y no hay MÁS que explicar.
    No se trata de "huir de la pregunta"; se trata más bien de decir que la carga de la prueba de que "hay algo profundo en la pregunta" la tiene el que supone que lo hay.
    .
    entendemos, o creemos entender sin problemas, afirmaciones como "el número pi no existe realmente".
    Pero sólo porque, TENDENCIOSAMENTE, distingues entre "existir" y "existir realmente". Si yo uso HONESTAMENTE el verbo existir cuando digo que existen números reales indefinibles, no tengo porque añadir que "no existen realmente"
    .
    , tu resitencia a aceptar que el matemático de tu cuento nunca tuvo entre sus manos una demostración de la conjetura de Goldbach
    La cita que pones a continuación muestra que no hay esa resistencia. Sólo que la noción de "demostración" es más ambigua que la de "existencia".
    .
    este problema de la existencia de los números es en realidad un pseudoproblema, poco más que un enredo del lenguaje.
    En efecto. Es debido a que uno piensa que "existir" debe tener algún "significado profundo".
    .
    todavía no ha aparecido un Russell con una teoría de las descripciones que lo aclare para siempre.
    Es que no es un problema que se pueda aclarar con una demostración matemática, porque es una cuestión más bien psicológica, creo yo.

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  59. Acabo de echarle un vistazo al enlace. Espero, por el bien de tus alumnos, que en las clases calibres mejor el grado de ignorancia de tus interlocutores ;-).

    Qué horror, sería lo último que yo le recomendaría a alguien que está verde en lógica. Hacía tiempo que no me encontraba una colección igual de tecnicismos inexplicados y de símbolos crípticos.

    Pues nada, me quedo como estaba. Entiendo (o creo entender) que la existencia de la luna y la del número 27 se parecen en que ambas pueden ser expresadas con el cuantificador existencial y que, en lógica, como en la respuesta de Kant al argumento ontológico, la existencia no funciona como predicado.

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  60. Ejecución:
    lo siento, fue lo primero que encontré que me pareció no muy complicado a simple vista.
    Lo que recomindo a mis alumnos (en online, aparte de libros) es esto y esto. Espero que sea un poco más asequible. Pensé poner la wikipedia, que no está mal, pero en la parte de los cuantificadores me pareció que flojeaba.
    .

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  61. Jesús,

    USAMOS "existir" para decir que entre dos números racionales siempre existe otro número racional, y no hay MÁS que explicar.

    También lo usamos para decir que existen números reales indefinibles, que existe la luna y que existen las obras que Mozart pudo haber escrito pero no escribió. ¿Es el mismo verbo? ¿Es el mismo uso? A eso me refiero con "sentido".

    Pero sólo porque, TENDENCIOSAMENTE, distingues entre "existir" y "existir realmente".

    No entiendo. (Reconozco que mi ejemplo es una mierda, dicho sea de paso).

    La cita que pones a continuación muestra que no hay esa resistencia.

    La cita muestra tres cosas, a mi entender:

    1. Que entiendes sin dificultad el sentido de la palabra "sentido".
    2. Que hay respuestas, correctas en apariencia y quizá en realidad, que no acaban de satisfacernos porque chocan con ciertas "intuiciones".
    3. Que tanto el caso de la demostración como el de la existencia de los números impensables tienen evidentes implicaciones platónicas.

    Es que no es un problema que se pueda aclarar con una demostración matemática, porque es una cuestión más bien psicológica

    Estoy esencialmente de acuerdo. El problema (que lo hay) es el siguiente: por un lado, "sabemos" que los números sólo existen en nuestra cabeza; por otro lado, nos resistimos a creer que algo que parece que parece tener reglas propias, que nos planta cara, que se resiste a hacer lo que nosotros queramos, no tenga algún tipo de existencia exterior a nosotros.

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  62. Y siguen quedando ciertas preguntas sin respuesta, o al menos sin respuesta evidente, que muestran que la existencia de los objetos matemáticos plantea un problema: la principal, si son descubrimientos o invenciones.

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  63. Respecto al "tendenciosamente" que no entendía: supongo que te refieres a que es un mero juego de palabras. Lo es, pero no era mi intención. Cuando lo escribí, quería indicar que utilizamos frases de ese estilo para sugerir las diferencias que hay entre la existencia de los números y la de los seres materiales.

    Por lo demás, toda la respuesta está escrita con los pies. Perdona.

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  64. Ejecución:
    ¿Es el mismo verbo? ¿Es el mismo uso? A eso me refiero con "sentido".
    Claro que es el mismo.
    .
    entiendes sin dificultad el sentido de la palabra "sentido".
    Claro. No te lo pregunto porque yo no lo entienda, sino para mostrar que no todo se puede responder con una definición.
    .
    hay respuestas, correctas en apariencia y quizá en realidad, que no acaban de satisfacernos porque chocan con ciertas "intuiciones".
    ahí está la gracia. Pero, en general, suele ser mejor estrategia desconfiar de las intuiciones.
    .
    tanto el caso de la demostración como el de la existencia de los números impensables tienen evidentes implicaciones platónicas.
    ¿Evidentes? No me lo parece.
    .
    "sabemos" que los números sólo existen en nuestra cabeza
    Al contrario: sabemos que NO. Hay infinitos números, ¿cómo van a "caber" todos en la cabeza de alguien?
    .
    no tenga algún tipo de existencia exterior a nosotros.
    El problema es lo de "exterior". ¿Dónde está el hecho de que el número de los apóstoles es igual al número de huevos que compré esta mañana? Hay cosas que es ABSURDO preguntarse "dónde están"; entre ellas, los números.
    .
    la principal, si son descubrimientos o invenciones.
    ¿Y qué más da? ¿En qué se podría NOTAR la diferencia?
    .
    Y no hay nada que perdonar (con "tendenciosamente" no quería decir "con mala intención", sino "con un fin determinado").

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  65. Jesús,

    Tu respuesta, como casi siempre, tiene mucho para comentar. Intentaré ser breve, pero antes quiero recordar cuál es mi tesis, para evitar en lo posible rodeos y malentendidos: yo sostengo que la existencia de los objetos matemáticos es una cuestión problemática (no necesariamente "profunda"), como lo demuestra el hecho de que da lugar a preguntas difíciles y estimulantes.

    De los muchos ejemplos que podrían ponerse, me limito a dos muy cercanos: tu entrada sobre la conjetura de Goldbach y esta entrada sobre las posibles obras de Mozart.

    Y por si hiciera falta insistir en su naturaleza problemática, recuerdo de nuevo tu postura ante la "cuestión Goldbach": por un lado, tu razón te dice que no hay demostración sin la participación de un ser consciente; por otro, y a pesar de lo que diga tu razón, no te decides a "tirar a la basura completamente la intuición de que EN ALGÚN SENTIDO RELEVANTE, Teodoro sí que tuvo en sus manos la demostración del teorema".

    Esa insatisfacción esencial, esa especie de permanente "y sin embargo...", es para mí el signo inequívoco del problema intelectual.

    Y ahora me pongo con tu respuesta.

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  66. EI: "sabemos" que los números sólo existen en nuestra cabeza
    JZB: Al contrario: sabemos que NO. Hay infinitos números, ¿cómo van a "caber" todos en la cabeza de alguien?


    El argumento es fácilmente reversible:

    1. Los números sólo existen en nuestra cabeza.

    2. Nuestra cabeza tiene una capacidad finita.

    3. Por lo tanto, no existen infinitos números, como pretendían los intuicionistas.

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  67. ¿Dónde está el hecho de que el número de los apóstoles es igual al número de huevos que compré esta mañana?

    Hay varias respuestas plausibles, como le corresponde a una pregunta problemática:

    1. En nuestra cabeza.
    2. En el Mundo de las Ideas.
    3. En el Mundo material.
    4. En ninguna parte.

    Etc.

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  68. Hay cosas que es ABSURDO preguntarse "dónde están"; entre ellas, los números.

    A lo mejor es cierto, pero creo que habría que justificarlo. Por lo pronto, y en contra de la idea de que la idea es absurda, tenemos el hecho de que admite dos respuestas en principio atendibles (o así lo entiendo yo, vaya):

    1. Los números existen en una región ajena al espacio-tiempo, que podríamos llamar Mundo de las Ideas.

    2. Los números existen en nuestra cabeza, como las palabras, los miedos y los colores.

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  69. (Por supuesto, las dos respuestas anteriores no son las únicas posibles. Son sólo dos extremos representativos hacia los que podrían acercarse otras muchas respuestas).

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  70. EI: la principal, si son descubrimientos o invenciones.
    JZB: ¿Y qué más da? ¿En qué se podría NOTAR la diferencia?


    Esta discusión ya la tuvimos en la entrada sobre la noción de causa, así que no me detengo demasiado:

    1. No es lo mismo ser indistinguible que ser igual. Un mundo solipsista y un mundo realista pueden ser indistinguibles, pero no son iguales.

    2. Si alguien nos preguntara si descubrimos o inventamos los planetas, seguramente responderíamos "los descubrimos" antes que "¿Y qué más da?".

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  71. EI: ¿Es el mismo verbo? ¿Es el mismo uso?
    JZB: Claro que es el mismo.


    Nuevamente: quizá tengas razón, pero no comparto tu aplomo.

    Si el existir material y el existir matemático fueran lo mismo con tanta claridad, sería igual de fácil responder a la pregunta "¿Tenía masa la luna antes de que existiera el ser humano?" que a la pregunta "¿Era cierto el teorema de Pitágoras antes de que existiera el ser humano?", y no me parece que sea el caso.

    Por otro lado, tenemos la diferencia esencial que tú mismo señalas: el existir material permite interrogar sin ningún género de dudas por el cuándo y el dónde; el matemático, en cambio, hemos visto que está sujeto a duda.

    A la luz de estas diferencias, que son en último término las diferencias entre lo material y lo inmaterial, no me parece impensable considerar el "existir" de la luna y el "existir" del 27 tan distintos como puedan serlo el "ir" de "Voy al cine" y el de "Voy a aprobar".

    (En cualquier caso, me parece que es una cuestión menor).

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  72. Y acabo.

    Sobre las "evidentes implicaciones platónicas". No quería decir que estas cuestiones sólo puedan responderse desde el platonismo, si por casualidad es lo que me entendiste. La palabra "implicaciones" está muy mal elegida, y hubiera estado mejor "reminiscencias".

    Quería indicar, simplemente, que quizá muchos comentaristas sienten aversión hacia este debate porque lo asocian con las doctrinas platónicas, donde tiene una relevancia especial.

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  73. Ejecución:
    es que tu argumento parte de la hipótesis de que los números tienen que existir EN ALGÚN "SITIO"; no veo necesidad de admitir esa hipótesis, así que, por el principio de Occam, sencillamente no la acepto, con lo que la pregunta "¿dónde existen los números?" se convierte en un pseudoproblema. No es verdad que HAYA QUE JUSTIFICAR (como dices) la hipótesis de que los números NO EXISTEN EN NINGÚN SITIO: esa es la opción POR DEFECTO; lo que hay que justificar es la hipótesis de que existen en ALGÚN sitio (y luego, la respuesta de por qué ahí y no en OTRO sitio).
    .
    Que los números no están en la cabeza es obvio para cualquiera que quiera pensar honestamente en ello: en la cabeza están nuestros PENSAMIENTOS sobre los números, pero no los números mismos (si fuera lo contrario: ¿dónde está el 799.878, en tu cabeza o en la mía, o en la de quién?, ¿y cómo sabemos que es EL MISMO número el que hay en la tuya y en la mía? Es más, si está en la tuya Y en la mía, ¿cómo puede ser EL MISMO? Es mucho más sencillo pensar que NO HACE FALTA QUE ESTÉN EN NINGÚN SITIO).
    Además, lo IMPORTANTE de los números es que, pensando en ellos, tanto tú como yo TENEMOS que llegar a la misma conclusión (p.ej., si los dos nos ponemos a resolver la ecuación 3 + 4x = 23); la "objetividad" o la "existencia objetiva" de los números tiene que ver con esta NECESIDAD; es decir, a lo que llamamos "existencia objetiva" de los objetos matemáticos es al hecho de que, lo calcule quien lo calcule, TIENE que llegar a las mismas conclusiones (mientras que no pasa lo mismo con lo que yo pueda IMAGINARME o "pensar").
    .
    Sobre la diferencia entre descubrir o inventar, lo importante es en el caso de las cosas FÍSICAS sí que hay diferencia (el proceso histórico que lleva a tener canguros en tu casa es distinto del proceso que lleva a tener televisión; en cambio, en el caso de las matemáticas, ¿qué diferencia habría?). Insisto, lo importante es la INEVITABILIDAD de las consecuencias que se siguen a partir de las definiciones de los objetos matemáticos y las reglas de cálculo. Tú DEFINES el objeto matemático que te da la gana (lo "inventas") pero no "inventas" COMO TE DA LA GANA el hecho de que de esa definición se sigan tales y cuales propiedades (así que puedes decir que las "descubres").
    .
    sería igual de fácil responder a la pregunta "¿Tenía masa la luna antes de que existiera el ser humano?" que a la pregunta "¿Era cierto el teorema de Pitágoras antes de que existiera el ser humano?", y no me parece que sea el caso.
    A mí sí me parece igual de trivial.
    .

    ResponderEliminar
  74. es que tu argumento parte de la hipótesis de que los números tienen que existir EN ALGÚN "SITIO"

    Supongo que te refieres al argumento contra el infinito. Mi hipótesis no es que están en algún "sitio", sino que están muy concretamente en la cabeza. Los números son cosas que hace nuestra cabeza. Una hipótesis coherente con esta otra: si nuestras cabezas no existieran, los números tampoco existirían.

    No es verdad que HAYA QUE JUSTIFICAR (como dices) la hipótesis de que los números NO EXISTEN EN NINGÚN SITIO: esa es la opción POR DEFECTO

    Yo no digo que haya que justificar esa hipótesis. Lo que digo que hay que justificar es tu afirmación de que la otra es "absurda" (y no meramente superflua o redundante, como parece que sostienes ahora).

    en la cabeza están nuestros PENSAMIENTOS sobre los números, pero no los números mismos

    ¿Los "números mismos" no son pensamientos?

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  75. "superflua o redundante".

    Fe de errores: "superflua" a secas, sin "redundante".

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  76. Ejecución:
    creo que es ABSURDO decir que los números están "en algún sitio", porque, de hecho, cada vez que te pones a sacar consecuencias a partir de la hipótesis de que están en algún sitio en particular, te salen las contradicciones a chorros.
    De todas formas, si no te gusta lo de "absurdo" y prefieres quedarte con "superfluo", por mí, fantástico. El de "¿dónde existen los números?" es, sencillamente, un problema que no me parece que MEREZCA que nos lo planteemos (más que, si acaso, en la poesía).
    .
    Sobre si los números SON pensamientos, pues me parece obvio que no. Igual que pensar en Nueva York no implica que Nueva York sea un pensamiento. Insisto, tampoco me parece relevante la cuestión de "qué son" los números (como si tuviéramos que catalogarlos al modo que los biólogos clasifican un bicho en una especie determinada, o los químicos una sustancia): lo importante es que, dadas las reglas de la aritmética, cuando examinamos el 31 no nos queda más remedio que decir que ES un primo, o que cuando examinamos la definición de la raíz cuadrada de 2 no nos queda más remedio que es un número irracional. Es decir, tiene sentido preguntarse "qué es ESTE número" cuando estamos haciendo matemáticas (o sea, operaciones OBLIGADAS por ciertas reglas); pero preguntarse "qué son los números" no es hacer matemáticas, sino especular, y como podemos especular como nos dé la gana, ninguna respuesta que demos tenemos en realidad ninguna razón para pensar que es INEVITABLE aceptarla. O sea, que es un pseudoproblema.
    .

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  77. Ayer me quedé sin conexión.

    Voy con la última ronda, que diría Héctor, porque me parece que ya hemos tocado el fondo indiscutible que hay en toda discusión. Tus definiciones de "problema" y "pseudoproblema" son un reverso casi exacto de las mías, que es tanto como decir que hemos alcanzado un antiacuerdo absoluto.

    Contesto ahora a las otras cuestiones, lo más breve que pueda.

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  78. Ejecución:
    Tus definiciones de "problema" y "pseudoproblema" son un reverso casi exacto de las mías
    ¿Y cómo puede ser eso?

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  79. es ABSURDO decir que los números están "en algún sitio", porque (...)te salen las contradicciones a chorros.

    Ignoro a qué contradicciones te refieres. Por lo que dices a continuación, intuyo que no son contradicciones de verdad y que te refieres a las preguntas que planteabas ayer:

    ¿dónde está el 799.878, en tu cabeza o en la mía, o en la de quién?, ¿y cómo sabemos que es EL MISMO número el que hay en la tuya y en la mía? Es más, si está en la tuya Y en la mía, ¿cómo puede ser EL MISMO?

    Sin estar muy seguro de haberte comprendido, me aventuro a decir dos cosas:

    1. No veo en qué afectan estas preguntas a mi hipótesis de que los números, como los fonemas o la nostalgia, son cosas que están en nuestra cabeza.

    2. No veo cómo ayuda a resolverlas -si es que hay algo que resolver- tu hipótesis del "número en sí".


    Y lo mismo te digo sobre la objetividad de las matemáticas y la coincidencia en los cálculos. No veo dónde choca mi "interpretación cerebral" de los números con el hecho de que tú, yo y una calculadora de bolsillo coincidamos en una suma, como no veo tampoco las ventajas de tu "número mismo".

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  80. pensar en Nueva York no implica que Nueva York sea un pensamiento.

    Desde luego. El pensamiento es sólo la "Nueva York pensada", que, como tal pensamiento, existe sólo en nuestras cabezas.

    La Nueva York física, en cambio, no es un pensamiento. Por eso no existe dentro de mi cabeza y por eso puede seguir existiendo aunque nadie piense en ella, a diferencia del número pi o de Macondo.

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  81. Ejecución:
    en efecto, me refiero a ESAS contradicciones. Ya las analizó Platón, de todas formas, en el Parménides y en el Sofista, y luego repitió Aristóteles el análisis, así que no es nada nuevo.
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    Si no ves cómo afectan esos problemas a la hipótesis de que los números son como la nostalgia, pues no sé qué más decir.
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    Sobre lo de "mi hipótesis del número en sí", tampoco sé muy bien (ni muy mal) a qué te refieres. No veo qué diferencia hay entre "el número 27" y "el número 27 en sí".
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    Y sobre lo de la objetividad, lo importante no es si DE HECHO coincidimos o no, sino que las matemáticas funcionan gracias a que NO ES POSIBLE que no coincidamos: tú no puedes decirle a tu jefe "mira, como mi sueldo base son 1000 euros y los complementos suman 600, me tienes que pagar 4000 euros, porque usted se equivoca al sumar cuando me dice que tengo que cobrar 1600"; bueno, PUEDES decírselo, pero él sabe que le tomas el pelo.
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    En todo caso, no veo cómo puede estar "en los cerebros" (y además, en TODOS los cerebros igual) el hecho de que en todas las ecuaciones de primer grado con una incógnita que AÚN NADIE HA PLANTEADO, la solución que halle todo el mundo cuando se pongan a resolverlas será igual.

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  82. A mí sí me parece igual de trivial [la pregunta de la luna y la del teorema de Pitágoras].

    Me sorprende leerlo, y me gustaría conocer tu respuesta a la "pregunta pitagórica".

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  83. La Nueva York física, en cambio, no es un pensamiento. Por eso no existe dentro de mi cabeza y por eso puede seguir existiendo aunque nadie piense en ella, a diferencia del número pi o de Macondo.
    Entonces, cuando dejo de pensar el la docena de huevos que he metido en mi frigorífico, ¿ya no son doce? ¿Las tablas de multiplicar dejan de ser verdad cuando nadie piensa en ellas? ¡Pues vaya coincidencia que vuelvan a ser IGUALES cuando volvemos a pensar en ellas! (También podríamos suponer que Nueva York, o Saturno, deja de existir cuando nadie lo ve; pero la hipótesis de que sigue existiendo y que POR ESO vuelve a ser igual que era la última vez que lo vimos, con los cambios lógicos por el tiempo, es más razonable que el idealismo de Berkeley)

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  84. En todo caso, INCLUSO la descabellada hipótesis de que los objetos matemáticos están "en la imaginación" sirve igual para afirmar que las obras que Mozart habría compuesto si hubiera seguido viviendo "existen". Pues COMO ME DA IGUAL EL SENTIDO EN EL QUE CADA UNO DIGA QUE "LOS OBJETOS MATEMÁTICOS EXISTEN", SIEMPRE QUE ADMITA QUE EXISTEN Y QUE OBEDECEN LAS REGLAS DE LAS MATEMÁTICAS, es decir, como soy AGNÓSTICO sobre el problema de "en qué consiste la existencia de los objetos matemáticos", la INTERPRETACIÓN FILOSÓFICA de la existencia de esas obras (o sea, de esas combinaciones de notas) me da igual.

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  85. Si no ves cómo afectan esos problemas a la hipótesis de que los números son como la nostalgia

    Y como los fonemas, sí (no en el sentido de que los números se escriban entre barras o de que nos hagan extrañar la patria, sino en el sentido de que sólo existen en el cerebro).

    Y no, no veo en qué afectan esas contradicciones que no son tales a la hipótesis en cuestión, pero tampoco pasa nada; yo no veo montones de cosas.

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  86. me gustaría conocer tu respuesta a la "pregunta pitagórica"
    Mi cama mide 2 metros de largo por 1,50 de ancho. O sea, la relación entre su longitud y su anchura es 4/3. Igual que mi cama sigue siendo de madera cuando me voy de casa, aquella proporción sigue siendo igual. Y también es siempre igual CON INDEPENDENCIA DE CUALQUIER OTRA COSA el hecho de que la relación entre una cosa cuya medida es 2 y otra cuya medida es 1,5 en las mismas unidades, están en una relación de 4 a 3. Eso vale para cualesquiera relaciones matemáticas entre números o figuras. No veo por qué el hecho de estar pensando en ello TIENE QUE SER NECESARIO para que sea así.

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  87. ¿Las tablas de multiplicar dejan de ser verdad cuando nadie piensa en ellas?

    En efecto, eso creo. Y ahora te devuelvo la pregunta a ti: ¿Tú crees que las tablas de multiplicar serían ciertas en un mundo sin cerebros?

    No te hacía tan platónico, la verdad.

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  88. ¡Pues vaya coincidencia que vuelvan a ser IGUALES cuando volvemos a pensar en ellas!

    ¡Asombrosa! ¿Y qué decir del miedo del niño a la oscuridad, idéntico de noche en noche? Inexplicable mientras no invoquemos un "miedo en sí" que, más allá del espacio, del tiempo y de nuestro cerebro, lleva una existencia tan existente, tan sin comillas, como la de la luna o los Pirineos.

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  89. INCLUSO la descabellada hipótesis de que los objetos matemáticos están "en la imaginación" sirve igual para afirmar que las obras que Mozart habría compuesto si hubiera seguido viviendo "existen"

    No sabes cuánto me alegra ver esas comillas en "existen". Creo que a eso se reducía todo el debate.

    Por otro lado, estoy completamente de acuerdo contigo en que, si adelgazamos lo suficiente el concepto de "existir" (o cualquier otro) podemos conseguir que sirva para cualquier cosa que nos interese.

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  90. Me dejaba esto, aunque creo que es insistir en lo mismo.

    No veo por qué el hecho de estar pensando en ello TIENE QUE SER NECESARIO para que sea así.

    Porque los números, las proporciones numéricas, la valoración artística de Las Meninas o el signo "gato" son cosas que hace nuestro cerebro. O, lo que es lo mismo: porque, si no hubiera cerebros, tampoco habría números, recuerdos, valoraciones artísticas ni signos lingüísticos.


    (Y no tengo más que añadir. Creo que ya hemos llegado al desacuerdo máximo).

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  91. Ejecución:
    ¿Tú crees que las tablas de multiplicar serían ciertas en un mundo sin cerebros?
    Claro. Cuando en el mundo no había cerebros, si una ameba se dividía en dos, y esas dos se dividían otra vez en dos, en total salían cuatro, no 3 ni 57. O si se formaba una molécula de oxígeno a partir de dos átomos sueltos, en total tenía 16 protones (8 x 2). No veo por qué admitir eso me convierte en platónico (y si me convierte en platónico, entonces no veo qué tiene de malo ser platónico en ESE sentido).
    .
    ¿Y qué decir del miedo del niño a la oscuridad, idéntico de noche en noche?
    Es que el miedo no es idéntico de noche en noche, ni la nostalgia. Unas veces hay más, otras menos.
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    No sabes cuánto me alegra ver esas comillas en "existen". Creo que a eso se reducía todo el debate.
    También puse entre comillas "en la imaginación". Creo, por otro lado, haber sido absolutamente claro al explicar qué quiero decir cuando digo que un objeto matemático "existe": AQUELLO que decimos cuando decimos (p.ej.) que "existe el sucesor de n para cualquier número n" o "para dos números racionales cualesquiera, existe otro que es la media aritmética entre ellos". MIENTRAS el uso de "existir" permita manejar este tipo de expresiones RECONOCIENDO LA NECESIDAD con la que se siguen de las reglas de la matemática, me da igual lo que cualquiera pueda IMAGINARSE sobre los números (p.ej., que están en un reino platónico, o que están en la imaginación... AMBAS cosas me parecen metafísica superflua).
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    estoy completamente de acuerdo contigo en que, si adelgazamos lo suficiente el concepto de "existir" (o cualquier otro) podemos conseguir que sirva para cualquier cosa que nos interese.
    Es que yo no digo que haya que adelgazarlo todo lo que nos INTERESE, sino todo lo que sea IMPRESCINDIBLE para hacer matemáticas.
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    Porque los números, las proporciones numéricas, la valoración artística de Las Meninas o el signo "gato" son cosas que hace nuestro cerebro
    Eso es una afirmación sin justificar. Que los signos y las valoraciones las construye el cerebro lo admito, pero no lo primero, no veo POR QUÉ TENDRÍA que admitirlo.
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  92. El juego de Mozart par componer minuetos. Proporciona el midi y la partitura.

    Resultan algunos muy bonitos.

    ¿Compuso Mozart en realidad todos los minuetos de su juego?

    http://sunsite.univie.ac.at/Mozart/dice/#options

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  93. Jesús:

    La eterna atracción del platonismo, difícil de desarraigar.

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