7 de enero de 2010

HASTA DONDE ALCANZA LA VISTA


Voy a proponer hoy un pasatiempos, en este día que algunos (sobre todo los docentes y estudiantes) tendréis aún para hacer frotamientos abdominales o gonádicos, a ver si os tengo un rato entretenidos.
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Viene a cuento de la inauguración de la torre más alta del mundo, en ca los emires (los pisos superiores dicen que tienen comunicación directa con el janah -paraíso musulmán-, y están atendidos por las mismísimas huríes). Dicen que mide 828 metros y que se ve desde 95 kilómetros de distancia (a mí me la tapan las torres del Madrid, que están justo en su dirección cuando me pongo a rezar hacia la Meca).
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Pero, en fin, a lo que iba. Este acontecimiento me hizo estar pensando un rato el otro día, mientras decidía si levantarme de la cama o no, en la fórmula que relaciona la altura de una torre (o cualquier otra cosa en estado vertical) con la distancia a la que se la podría ver desde la superficie de la Tierra (suponiendo, claro está, que esa superficie fuese la de una esfera perfectamente lisa... salvo por la torre). O, lo que es lo mismo, hasta qué distancia como máximo podría prolongarse su sombra.
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Ánimo.
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6 comentarios:

  1. Como diría Monica Lewinsky: eso está chupa'o.

    Es trigonometría elemental. Hay un triángulo rectángulo, con vértices en el centro de la Tierra, la punta de la torre y el punto donde la tangente trazada desde la punta de la torre toca la superficie terrestre. El vértice que corresponde al ángulo recto, por supuesto, es el del punto de intersección.

    Primero, una aproximación útil: si la altura de la torre (H) es pequeña en relación al radio de la Tierra (R), da igual si medimos la "distancia real" sobre la superficie, o la distancia entre la punta de la torre y el punto de contacto de la tangente. En ese caso, por Pitágoras, D = sqrt((R+H)^2 - R^2) = sqrt(2RH + H^2), donde "sqrt" representa la raíz cuadrada.

    La fórmula exacta, sin embargo, es:

    D = R * acos(R / (R + H))

    donde "acos" es el coseno inverso. Para comprobar si es cierta, podemos mirar qué ocurre en los casos extremos. Si H = 0, entonces hay que tomar el coseno inverso de 1, que es cero: a ras de tierra no se ve mucho. Si H es infinito, el coseno inverso de 0 es pi partido dos: 90 grados. La distancia que se ve es la de un cuadrante del círculo máximo. Es decir, la vista del observador alcanzaría, como máximo, un hemisferio.

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  2. 102 kilómetros, por cierto, me sale en las cuentas. El radio de la Tierra es de 6378 kilómetros. La fórmula "simplificada", por cierto, da también 102 km.

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  3. ... y una sencilla de geometría diferencial, a cambio:

    Si se suman los ángulos de los vértices de un triángulo dibujado sobre un plano, la suma es exactamente igual a 180 grados. Pero, ¿y si el triángulo se traza sobre la superficie de la Tierra? ¿Será la suma menor o mayor que 180 grados?

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  4. Es correcto. Los cálculos de Freman dan 102 kilómetros como la distancia de la torre hasta el horizonte. La fórmula simplificada es Raiz Cuadrada de (H^2 + 2*H*R), y sólo aplica si H es muy pequeño comparado con R.

    Supongo que el hecho de que sólo se pueda ver desde 95 kilómetros obedece a factores de orden práctico, tales como la opacidad del aire (polvo, contaminantes), el hecho de que desde 102 kilómetros sólo se vería la punta, etc.).

    Un Abrazo.

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  5. A la pregunta de Freman, la respuesta es: mayor.

    Una solución intuitiva: En una esfera perfecta, imagina el triángulo trazado entre las longitudes 0 y 90 en el ecuador, y el polo norte: el triángulo tiene 3 ángulos de 90 grados cada uno, lo que da un total de 270 grados en la suma.

    Un Abrazo.

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  6. Freman, te quiero.

    Eres el puto amo.

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