El más famoso argumento del creador de la teoría de conjuntos, Georg Cantor (1845-1918), consiste en la demostración de que el conjunto de los números reales tiene una tamaño (o "cardinalidad") mayor que el conjunto de los números naturales. El argumento, que fue publicado en 1891, es tremendamente sencillo, y procede por reducción al absurdo (ver):
Supongamos que el conjunto de todos los números reales comprendidos en un intervalo a, b (p.ej., los números mayores que 0 y menores que 1) fuese numerable, es decir, que se pudiera establecer una correspondencia uno a uno entre ese conjunto y el de los números naturales. En este caso, podríamos ordenar los elementos de ese conjunto de la manera siguiente:
a1 = 0, a1.1, a1.2, ..., a1.m, ...
a2 = 0, a2.1, a2.2, ..., a2.m, ...
...
am = 0, am.1, am.2, ..., am.m, ...
Podemos probar que existe necesariamente al menos un número, e, que no está comprendido en ese conjunto. Sea e un número comprendido entre 0 y 1 (es decir, su parte entera es 0), y para cada cifra n-sima en la parte decimal de e, elijamos un dígito que sea diferente de an.n. Obviamente, el número e será diferente de a1 al menos en el primer decimal, diferente de a2 al menos en el segundo decimal, diferente de am al menos en el m-simo decimal, etc. Por lo tanto, e no será igual a ningún número de la serie a1, a2, ..., am,..., luego la hipótesis de que esta serie contenía todos los números reales comprendidos entre 0 y 1 es falsa. En conclusión, el conjunto de los números reales en el intervalo (0,1), y por ende, el conjunto de todos los números reales, no puede ser proyectado mediante una relación biunívoca al conjunto de los números reales.
Posteriormente, Cantor demostró una generalización de este resultado, según la cual, para cualquier conjunto dado, C, el conjunto potencia de C (Po(C), el formado por todos los subconjuntos de C) tiene una cardinalidad o tamaño mayor que C (esto se conoce como “teorema de Cantor”). El resultado anterior es un caso particular de éste, pues la cardinalidad del conjunto de los números reales es igual a la del conjunto potencia de los números naturales. La prueba del teorema de Cantor también es muy sencilla: se trata de probar que, para cualquier conjunto C, y para cualquier función (f) que asigne a cada elemento de C un elemento de Po(C), existirá necesariamente algún elemento de Po(C) que no sea la imagen de ningún elemento de C según dicha función (o sea, cualquier proyección de los elementos de C en los subconjuntos de C dejará algún subconjunto sin correspondiencia, luego hay “más” subconjuntos que elementos). Para verlo, definamos el conjunto V como el conjunto de todos los elementos e de C para los que e Ï f(e). La pregunta es, ¿hay algún elemento t de C tal que T = f(t)? Comprobemos que no: o bien t Îf(t), o bien t Ï f(t); si ocurre lo primero, como por hipótesis T = f(t), tenemos, por la definición de T, que t Ï f(t) (en contradicción con lo que hemos supuesto en este primer caso); si ocurre lo segundo, entonces, por la definición de T, tendremos de manera análoga que t Îf(t). Así que, si existiera un elemento tde C tal que T = f(t), llegaríamos inevitablemente a una contradicción. (Esta construcción es el antecedente histórico de la paradoja (ver) de Russell, pues permite mostrar que no existe necesariamente cualquier conjunto que creamos poder definir).
Por lo tanto, el conjunto potencia de C siempre tiene más elementos que el conjunto C, incluso cuando C es de cardinalidad infinita. Esto implica, a su vez, que podemos definir, a partir del conjunto de los números naturales, N, una serie infinita de conjuntos: Po(N), Po(Po(N)), Po(Po(Po(N))), etc., de tal modo cada uno de ellos tendrá un tamaño infinito mayor que el anterior.
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