Deflactando la verdad (y 4): Platonismo trivial

Termino aquí de ofrecer la traducción de la última entrada de esta serie (aquí y aquí las primeras entradas).
.
Sólo hay un concepto más importante que el de la verdad en la metafísica tradicional: el concepto de existencia, realidad, o ser. Si interpretamos a Aristóteles como el primer filósofo deflacionista sobre la verdad (cuando definió "verdadero" como "decir de lo que es que es y de lo que no es que no es"), podemos considerar a Kant como el primer deflacionista sobre la noción de existencia, cuando, en su Crítica de la Razón Pura, y en particular en su crítica al argumento ontológico de San Anselmo, Kant niega que la existencia pueda considerarse como un predicado o una propiedad (al modo como vimos en las pasadas entradas sobre la noción de "verdadero").
.
La idea de Kant es que no atribuimos ninguna propiedad en concreto a una cosa cuando decimos que esa cosa existe (lo que decimos es que existe una cosa que tiene tales y cuales propiedades). Esta idea fue desarrollada de modo más claro y sistemático por algunos de los creadores de la lógica contemporánea, en particular Frege y Russell. Como seguramente la mayoría sabréis, en la lógica de predicados de primer orden, los elementos formales que se encargan de afirmar la existencia no son los predicados (como "es verde" o "es el padre de"), sino otros símbolos cuya función y propiedades son completamente distintos: los cuantificadores.
.
Cuando afirmamos que, p.ej., hay un bicho verde sobre la mesa, la lógica moderna
reconstruye esa afirmación de este modo:
.

Ǝx(Vx & Bx & Sxm)
.
es decir: "existe un x tal que x es verde, x es un bicho, y x está sobre m (donde "m" es el nombre de la mesa).
.
La distinción gramatical entre los predicados V, B y S, por un lado, y el cuantificador Ǝ, es justo la versión moderna de la idea kantiana de que existir no es una propiedad. Pero, si ser real no es una propiedad, ¿qué es?
.
La respuesta es que "existe..." no es un predicado sino un operador (recuérdese que en las entradas anteriores vimos que "...es verdadero" tampoco es un auténtico predicado, sino un "operador-formador-de-pro-oraciones"). Es decir, el cuantificador existencial Ǝ es algo del mismo tipo que los operadores lógicos (o "conectivas"), como la disyunción, la negación, la conjunción, etc. En concreto, es un símbolo cuyo significado es extraordinariamente parecido a la disyunción (de hecho, es por eso que en algunos libros de matemáticas se representa el cuantificador existencial como una V grande). De hecho, si la lista de entidades a las que nos estuviéramos refiriendo fuese finita y tuviéramos un nombre para cada una (a, b, c...), entonces un enunciado existencial como
.
ƎxPx
.
es lógicamente equivalente a la disyunción:
.
Pa v Pb v Pc...
.
(es decir, "al menos una de esas cosas, a, b, c..., es P")
.
Dicho de forma más gráfica: la relación entre el cuantificador existencial Ǝ y la disyunción v es exactamente la misma que la relación entre el símbolo del sumatorio ∑ y el símbolo de la suma +
.
Entonces, ¿qué es lo que afirmamos sobre algo al afirmar que existe? El filósofo americano Willard Quine lo expresó con un famoso eslogan: "ser es ser el valor de una variable ligada por un cuantificador existencial", es decir, ser es ser aquello a lo que se refiere la x en una expresión como ƎxPx. Si a es el nombre de una entidad para la que ocurre que la proposición Pa es verdadera, pues a existe porque ƎxPx se sigue de Pa (es la llamada "regla de introducción del cuantificador existencial"), igual que también se sigue de Pa la proposición Pa v Pb.
.
Esta idea puede usarse para ofrecer una respuesta deflacionista a uno de los problemas clásicos de la ontología: el problema de la existencia de las entidades abstractas. Lo que nos recomendaría el deflacionismo sería algo así como lo siguiente:
.
- Haga usted una lista de todas las proposiciones que considere verdaderas
- Aplique todas las veces que sea posible la regla de introducción del cuantificador existencial
- Fíjese en todas las proposiciones del tipo ƎxPx a las que ha llegado
- Pues bien: esa es la lista de cosas que usted admite que existen.
- Para responder a la pregunta de si algo en particular existe, mire si está en esa lista.
.
Veamos algún ejemplo: ¿existen los números? Vamos a ver: la proposición "13 es un número primo" la acepto como verdadera. Por lo tanto, de aquí se sigue que tengo que aceptar como verdadera la proposición "existe un x que es un número y es primo", y por lo tanto, también "existe un x que es un número". Así pues, los números existen.
.

¿Y qué ocurre con las ficciones, como, p.ej., Batman? Bien, en este caso, no aceptamos que Batman exista, porque todas las proposiciones de las que podríamos derivar su existencia son proposiciones que consideramos literalmente falsas. De hecho, afirmar de algo que es una entidad ficticia significa, precisamente, que pensamos que no existe, aunque hay un determinado conjunto de proposiciones falsas en las que se nombra a esa entidad.
.
Así pues, los números existen, pero las ficciones no, y por lo tanto, los números no son ficciones, tal como afirmaba Platón hace 25 siglos.
.
Si esto te suena como a volver a introducir la metafísica por la puerta de atrás, te ruego que tengas en cuenta lo que hemos explicado sobre qué significa "existencia" según esta visión deflacionista: afirmar que los números primos existen es sencillamente una consecuencia trivial de la afirmación (casi trivialmente verdadera) de que 13 es un número primo. Recuerda que la existencia no es una propiedad, y por lo tanto, no estamos atribuyendo ninguna propiedad en especial al número 13 cuando afirmamos que existe. En particular, no le estamos atribuyendo ninguna propiedad causal. Las únicas propiedades que podemos saber que el número 13 posee son las que recogen los teoremas matemáticos que seamos capaces de probar acerca de él, y estas son, obviamente, propiedades matemáticas. Nuestro platonismo trivial es trivial justo en el sentido de que no nos fuerza a aceptar la parte más comprometida de la metafísica de Platón: la de que las entidades abstractas (p.ej., las "ideas") desempeñan un papel causal en la existencia y estructura del mundo físico. Las causas de un hecho físico son siempre otros hechos físicos, y el que estos hechos, o las relaciones entre ellas, puedan ser descritas utilizando conceptos matemáticos no es una razón para pensar que los hechos matemáticos se cuenten entre las causas de los hechos físicos.
.
Los números y las demás entidades matemáticas (que podamos demostrar matemáticamente que existan) existen exactamente en el mismo sentido que los protones o los canguros, a saber, en el sentido de que hay algunas proposiciones verdaderas de las que podemos derivar de ellas enunciados existenciales que se refieren a esas cosas. Pero no por existir tienen los números las mismas propiedades que los protones y los canguros: no están sujetos a fuerzas físicas ni se reproducen sexualmente, igual que ni los protones ni los canguros pueden ser múltiplos de 7.
.
Para acabar: el deflacionismo nos recomienda considerar los problemas "existenciales" (en el sentido ontológico del término, no en el sentido ético o antropológico) no tanto como problemas filosóficos, cuanto como problemas científicos. Si ciertas entidades matemáticas existen, o si ciertas partículas existen, o si ciertas especies existen, es un problema para el matemático, para el físico, o para el biólogo, más que para el filósofo.

Pitágoras fractal

.
Visto en Cuaderno de Cultura Científica.
.

Platonismo trivial

En varias entradas del blog he estado hablando acerca de una tesis que me parece bastante atractiva en filosofía de las matemáticas, y que llamo "platonismo trivial". Como las ideas están dispersas por entre inacabables ristras de comentarios y no es cuestión de exigir a los lectores que se conviertan en expertos en la edición crítica del blog (más de lo que algunos ya lo son, lo que me honra, aunque por lo general lo hacen con la intención de sacarme los colores), voy a dedicar esta breve entrada a presentar dichas ideas.

.
La tesis principal es la de que las afirmaciones de existencia deben ser entendidas de manera literal: afirmar que 'existe' el número 7 es simplemente lo que hacemos al afirmar que existe un número natural mayor que 6 y menor que 8. Si se nos pregunta algo así como "pero, ¿existe realmente el 7?", nos limitaremos a decir que "existir" y "existir realmente" significan exactamente lo mismo, igual que la proposición "es verdad que está lloviendo" no expresa más que el mismo hecho que la proposición "está lloviendo" (dejando de lado los usos retóricos del término "verdad"), y por supuesto, lo mismo que la proposición "es un hecho objetivo, una verdad objetiva, que está lloviendo". Es decir, lo que tiene que ocurrir para que sea verdad que está lloviendo es lo mismo que tiene que ocurrir para que sea verdadera la proposición "es verdad que está lloviendo" o la proposición "es un hecho objetivo que está lloviendo". Esto, si recordáis, es la interpretación deflacionista de la verdad. Pues bien, el platonismo trivial es también una forma de deflacionismo.
.
El platonismo trivial es platonismo en el sentido de que admite la existencia "objetiva" (recuérdese que esto es una redundancia: existencia y existencia-objetiva son lo mismo, igual que verdad y verdad-objetiva) de entidades matemáticas. El teorema de Euclides demuestra que existen infinitos números primos, así que no podemos negar que existan si aceptamos como conocimiento válido dicho teorema. El teorema de Russell demuestra que no existe un conjunto que contenga a todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, así que la inexistencia de ese conjunto es una verdad objetiva.
.
También es platonismo en el sentido de que toma a la investigación matemática como una actividad que consiste en intentar descubrir verdades que lo son con independencia de si nosotros creemos que lo son o dejamos de creerlo (cuando acepto el teorema de Euclides, acepto que es verdadero, y que su verdad no depende de su demostración -más bien al contrario: se pudo demostrar PORQUE era verdad, no al revés-, y no es "temporal" -no "llegó a ser" verdadero-, porque no tiene absolutamente nada que ver con el tiempo). Por supuesto, nosotros podemos inventar conceptos y axiomas matemáticos, pero no tiene sentido que inventemos los teoremas que demostramos mediante aquellos, sino que nos esforzamos para averiguar qué teorema se siguen realmente de esos axiomas.
.
Pero el platonismo trivial es trivial porque limita sus afirmaciones de existencia a lo que digan los teoremas matemáticos: podemos afirmar que los números tienen las propiedades que algún teorema matemático dice que tienen, pero no más. No hay razones, pues, para pensar que los números tienen propiedades como "color", "sabor", "existencia limitada en el tiempo", "dolores de cabeza", o, lo más importante, "poderes causales". De los números, conjuntos, espacios topológicos, etc., sabemos lo que las teorías matemáticas que los estudian nos dicen, y exactamente ni una coma más. Es decir, casi todo lo que la "filosofía de las matemáticas" intenta averiguar sobre esas entidades, simplemente no hay ninguna razón para aceptarlo.
.
Por ejemplo, no tienen sentido las preguntas como "¿qué tipo de existencia tienen las entidades matemáticas?". Para el platonismo trivial, existencia es existencia, punto, no viene en distintos "sabores". Existencia es lo que dice el cuantificador existencial. Si afirmo que hay un número primo mayor que 90 y menor que 100, estoy afirmando exactamente lo mismo de ese número que lo que afirmo sobre una lata de cerveza cuando digo que hay una lata de cerveza en mi frigorífico. Y lo mismo cuando afirmo que existen números primos que nadie ha calculado, o galaxias que nadie ha observado. Ninguna de estas cosas existe "en un sentido particular". Simplemente, existen (o eso es lo que mis frases afirman sobre ellas). Recuérdese, "existir" significa lo que significa en su interpretación más deflacionista posible.
.
Lo que ocurre es que las cosas que existen no tienen todas ellas las mismas propiedades, obviamente. La lata de cerveza en mi frigorífico no tiene las mismas propiedades que la galaxia de Andrómeda, lo cual no quiere decir que una de ellas tenga un modo de existencia "galáctico" y la otra tenga un modo de existencia "cervecil"; sencillamente, la lata tiene la masa que tiene, la forma que tiene, la situación que tiene, la temperatura que tiene, etc., y la galaxia tiene la masa que tiene, la forma que tiene, las estrellas que contiene, etc., etc., etc. Ambas tienen la propiedad de tener masa o forma (más o menos), pero otras propiedades no las comparten (sin ir más lejos "ser una lata" y "ser una galaxia"). Asímismo, el número 9 tiene propiedades que no tiene el número 8 (p.ej., el primero es impar, es un cuadrado de un número entero, etc.), y que tampoco tiene la lata, como la lata tiene propiedades que no tiene el número 9 ni ningún otro número. Lo que existe, pues, son distintos tipos de cosas,(es decir, cosas con diferentes conjuntos de propiedades), pero no distintos "tipos de existencia".
.

Entonces, ¿por qué la mayoría de la gente es tan reacia a admitir que los números existen "en el mismo sentido" que las latas de cerveza? Mi conjetura es que ello se debe a que (incorrectamente) atribuyen al concepto de existencia más propiedades de las que en realidad el concepto contiene. En particular, pienso que la gente (y, por desgracia, más aún los que han estudiado algo de filosofía) suelen atribuir al concepto de existencia (o realidad, que recuérdese, en la interpretación deflacionista son exactamente el mismo concepto) cosas como "poder causal" o "presencia en nuestra consciencia". No niego que sean importantes y útiles los conceptos "ser algo que tiene poder causal" o "ser algo que está presente en nuestra consciencia"; lo que digo es que esos conceptos no son, ni forman parte de, el concepto de existencia, que se limita única y exclusivamente a ser lo que dice el cuantificador existencial. El hecho de que esos conceptos sean diferentes del de existencia tiene la trivial consecuencia de que podrán existir cosas que no tienen poderes causales (p.ej., las entidades matemáticas), o que no están presentes en la consciencia de nadie (p.ej., el último asteroide que cayó en Neptuno antes de que desaparecieran los dinosaurios en la Tierra).
.
Por cierto, tal como creo recordar que he explicado alguna que otra vez, hay una explicación muy sencilla (y que no estaba disponible en la época de Kant) para entender por qué el concepto de existencia no designa una propiedad, tal como sabiamente enseñó el filósofo de Königsberg (que, por cierto, ¿no os suena como el nombre de una cerveza que a priori es estupenda?): el cuantificador existencial no tiene la naturaleza de un predicado (como "es verde", o "duerme"), sino la de un operador lógico (como "y" o "si... entonces..."): de hecho, es una abreviatura de una serie posiblemente infinita de disyunciones (por eso se le representa a menudo como una V grande), algo así como un sumatorio; pues lo que dice la proposición "hay al menos un hombre soltero" es lo mismo (es decir, sus condiciones de verdad son las mismas) que la disyunción infinita "o bien A es un hombre soltero, o bien B es un hombre soltero, o bien C es un hombre soltero...".
.
.
Sigue a bordo:
Si-entoncesismo y existencia matemática
Mozart resurrectus

EMPIRISMO, RACIONALISMO Y CIENCIA (o cómo navega el barco de Otto Neurath)

(Oportuno recordatorio sobre mi visión del funcionamiento de la ciencia, a propósito de la discusión que se está manteniendo sobre la inducción en la entrada acerca de "las cuentas de la teología". El texto original viene de una discusión con un par de racionalistas en el blog Sursum Corda!).

Empírico es aquello que no se puede conocer utilizando SÓLO el razonamiento lógico, sino que para conocerlo es necesario utilizar (en ALGÚN momento de nuestra argumentación) información que hemos obtenido gracias a la experiencia.

.

Creo que la fuente de todas nuestras diferencias es que los racionalistas partís del principio de que el conocimiento tiene que ser CIERTO, APODÍCTICO, NECESARIO. Tal vez en la época de Kant todavía esa representación del conocimiento fuese defendible, pero lo que hemos aprendido desde entonces es que la mayor parte de las cosas que dábamos por sentadas (como "ideas claras y distintas") ha resultado que NO ERAN VERDADERAS (o han resultado difícilmente compatibilizables con muchos otros descubrimientos científicos). Cuando la ciencia ha aprendido a PRESCINDIR del requisito 'fundamentalista' de 'tener que ser capaz de justificar de manera ABSOLUTA sus resultados ante un SUJETO ABSOLUTAMENTE RACIONAL', y ha adoptado una postura mucho más 'liberal' ('justificamos las cosas EN LA MEDIDA EN QUE PODEMOS'), hemos sido capaces de DESCUBRIR millones de cosas más (desde cómo se reproducen los seres vivos hasta qué elementos químicos hay y cómo están constituidos, pasando por qué es lo que determina el precio de un producto, hasta por qué existen las montañas). El precio que pagamos por ello es un cierto nivel de INCERTIDUMBRE. Los fundamentalistas pensáis que un POQUITO de incertidumbre en un descubrimiento científico ya hace que sea tan subjetivo e 'injustificable' como el horóscopo, en cambio, los NEURATHIANOS, a bordo del barco del que hay que renovar toda la quilla en altamar, nos CONFORMAMOS con menos, pero a cambio avanzamos más.
.Admito que esta posición 'naturalista' comete una cierta circularidad: nos basamos en el conocimiento científico que tenemos AHORA para obtener NUEVOS conocimientos científicos (y en concreto, nos basamos en el conocimiento científico de CÓMO ADQUIERE CONOCIMIENTO NUESTRA MENTE, para aprender a obtener MÁS conocimiento). Pero esto SÓLO es un problema si se admiten dos cosas que los naturalistas no admitimos:
.
1) que aquello que no se pueda DEMOSTRAR DE MANERA ABSOLUTA, hay que ponerlo TOTALMENTE en duda (pues no: la certeza absoluta y la duda absoluta no engloban TODO el ámbito de la epistemología; la mayoría de las cosas que "sabemos" son MÁS O MENOS PROBABLES, ni TOTALMENTE ciertas, ni ABSOLUTAMENTE dudosas).
.2) Que el conocimiento debe ser codificado como un corpus en el que TODOS sus items están puestos de manifiesto SIMULTÁNEAMENTE y no se pueden borrar (pues no; el "conocimiento" que tenemos hasta ahora es un montón de HIPÓTESIS -'bastante' justificadas, aunque no 'absolutamente'-, de las cuales es prácticamente seguro que algunas, o muchas, las tendremos que tirar a la basura gracias a descubrimientos nuevos que hayamos hecho MEDIANTE la aplicación de aquellas hipótesis).
.
Me dices que 'no explico' cómo es posible una contrastación empírica neutral. Eso demuestra que no has entendido lo que quiero decir, porque lo que digo es que NO ES POSIBLE... ni necesaria: para que la ciencia 'funcione' (es decir, para que nos siga proporcionando descubrimientos), lo ÚNICO necesario es que, cuando hay varias teorías rivales, podamos adjudicar la razón a una de ellas mediante hechos empíricos que sean lo SUFICIENTEMENTE neutrales como para no depender de ESAS teorías científicas (pero pueden depender de OTRAS). O sea, no hay una experiencia ABSOLUTAMENTE neutral, pero no hace falta: basta con que sea "lo bastante neutral como para sacarnos del atolladero EN PARTICULAR en el que nos encontremos en cada caso".

.
Además, el reconocer que las TEORÍAS y los CONCEPTOS TEÓRICOS juegan un papel INEVITABLE en la investigación empírica no supone ninguna defensa del RACIONALISMO: sobre todo porque esas TEORÍAS son, por lo general, FALSAS (o, al menos, sólo son "aproximadamente verdaderas"), no son "verdades a priori", sino más bien "prejuicios", en el peor de los casos, y en el mejor, pues sencillamente peldaños de una escalera que nos permiten encontrar una TEORÍA radicalmente mejor (un peldaño por encima).
.Y, en definitiva, la cuestión IMPORTANTE no es si esta visión Neurathiana o Popperiana es "correcta filosóficamente" o no, sino si es una "guía de instrucciones" ÚTIL de cómo apañarnos en la actividad científica. El racionalismo puede tener todas las "virtudes filosóficas" que quieras ponerle, pero si hubiéramos tenido que ceñirnos rigurosamente a sus dogmas metodológicos y epistemológicos, no habríamos descubierto la estructura del átomo, ni la del ADN, ni las neuronas espejo, ni la deriva de los continentes, ni las leyes de los gases, ni la ecuación de Schrödinger, ni la isla de Pascua, ni habríamos descifrado los textos hititas. La cuestión es que la EXPERIENCIA y las TEORÍAS son necesarias para obtener todas estas cosas, y que MUCHO de lo que tomamos como "datos empíricos fiables" y como "teorías bien establecidas", llegamos a descubrir que son ERRORES (o que, al menos, no casan bien con los DEMÁS datos y teorías "bien establecidos"), de modo que tenemos que "corregirlos" (o sea, sustituirlos por otros, a ver si la cosa casa mejor).

.

Aunque he hablado de "utilidad", no pretendo reducir el valor del conocimiento a consideraciones pragmáticas; de hecho, no he hablado de la utilidad DEL CONOCIMIENTO, sino de la utilidad de los MÉTODOS, así que habría sido más correcto hablar de EFICACIA (o sea, la capacidad de un método de proporcionarnos resultados de cierto valor epistemológico)..
En lo que veo que la comprensión mutua va a ser difícil es en tu caracterización del empirismo ("El empirismo es una tesis epistemológica (y la epistemología una disciplina filosófica) cuyo objeto es demostrar la posibilidad de conocimientos universalmente válidos y objetivamente verificables"). Tal vez Locke lo apoyara, pero desde Hume los empiristas tenemos bastante claro que ESO ES PRECISAMENTE lo que no es alcanzable: los "conocimientos universalmente válidos y objetivamente verificables". Al menos, si entiendes ambos conceptos en sentido "absoluto". Alcanzar tales cosas (más allá de la lógica y de las matemáticas) está fuera del alcance de los humanos, así que , en lugar de inventarnos una teoría acerca de "cómo se pueden conseguir ESE TIPO de conocimientos", hemos "evolucionado" hacia posturas que lo que intentan es comprender, en la medida de lo posible, cómo nos las apañamos los humanos para alcanzar EL TIPO DE "CONOCIMIENTOS" QUE HEMOS ALCANZADO sobre la naturaleza. No es el mismo TIPO de conocimientos que los que parecéis querer 'vosotros' (no son "universalmente válidos" ni "objetivamente verificables"; al contrario, son probables, provisionales, de andar por casa), pero DE ESTOS (de los de "andar por casa"), hemos conseguido la repera bananera de ellos.
.Son, efectivamente, conocimientos "probables". ¿CUÁNTO de probables, me preguntas? Hombre, no se puede cuantificar así como así, pero eso no quiere decir que no se puedan hacer COMPARACIONES. Por ejemplo, que existe un elemento químico llamado oxígeno, con tales y cuales propiedades (las que diga la enciclopedia) es MUY seguro, por usar un término técnico diríamos que es LA HOSTIA de seguro, y me apostaría un pastón a que la química de dentro de cien años sigue afirmando lo mismo. Que los elementos están organizados de acuerdo con lo que dice la tabla periódica es un poquito menos seguro, pero también muchísimo (aunque los DETALLES acerca de cuántos elementos hay, cuáles son los pesos exactos de cada uno, y cuál es la razón de que se organicen así y no de otro modo, es a su vez un poco menos seguro). Que existen fuerzas electromagnéticas que obedecen con una aproximación acojonante (a escala humana) las leyes de Maxwell también es LA HOSTIA de seguro. Que existen los quarks es un poco menos seguro. Que alguna versión de la teoría de cuerdas es correcta es bastante menos seguro. Que la gripe porcina va a causar una pandemia con millones de muertos, es también poco seguro.
En el otro extremo, que existan la telequinesia, el flogisto, los epiciclos planetarios, el plesiosaurio de lago Ness, y otras cosas asi, es la hostia de seguro QUE NO.
.
La inmensísima mayoría de los "conocimientos" que tenemos los seres humanos ACERCA DE LA NATURALEZA (en realidad, es bastante seguro que TODOS, no sólo "la mayoría", si exceptuamos las TAUTOLOGÍAS) andan entre estos extremos. Lo malo del racionalismo "a lo loco" y del empirimo "a lo Locke" es que NO ES CAPAZ DE OFRECER UNA TEORÍA CONVINCENTE PARA EXPLICAR CÓMO OBTENEMOS ese tipo de conocimientos que son con los que tenemos que vivir.

.

¡Claro que mis argumentos son circulares! Lo que estoy intentando decir es que, si quieres entender cómo se obtiene el conocimiento científico mediante una teoría "fundamentalista" (es decir, que parta de fundamentos absolutamente firmes, y a partir de ahí prosiga)... pues NUNCA conseguirás "proseguir", nunca llegarás a escribir un manual de química que "funcione" (que te sirva para organizar los resultados de los experimentos, para planificar nuevos experimentos, para conectarlo con lo que "sabes" de otras áreas, etc.).
.
En la ciencia (y en la vida diaria), los "conocimientos" se apoyan UNOS EN OTROS (con unos apoyos en la "experiencia" que no son sagrados, sino revisables, en función de la coherencia con el resto del edificio, y con unas estructuras teóricas y conceptuales que también son revisables). La EPISTEMOLOGÍA es PARTE DEL SISTEMA, no es una ACTIVIDAD PREVIA (no son "los cimientos" del sistema), sino que la vamos también CORRIGIENDO según el sistema avanza.
.
Ya sé que esto es circular, y ya sé que tú no QUIERES llamar "conocimientos" a lo que obtenemos GRACIAS a esta estrategia epistemológica, pero si pasas por una biblioteca y miras los libros de física, química, biología, geología, ingeniería, historia..., todo lo que hay en ellos (que no sean tautologías matemáticas) está "obtenido" así. Yo llamo "conocimientos" a ESAS cosas (pero tú llámalas como quieras), y tu filosofía NO AYUDA ABSOLUTAMENTE NADA a comprender cómo los hemos podido obtener.
.
.
Tú estás OBCECADO con el problema al que te refieres una y otra vez ("cómo cuadrar la presunción de universalidad y objetividad de las leyes científicas (en el sentido de que, de ser ciertas, deberían poder aplicarse a todos los casos a los que dan forma legal) con la inevitable particularidad y subjetividad que caracteriza a la experiencia"), pero Popper ya te dio la solución (bueno, otros la inventaron antes, p.ej., Whewell en el siglo XIX, por no hablar de Hume): NO SE PUEDE "cuadrar", porque las teorías no tienen esa "presunción": son HIPÓTESIS, y las aceptamos mientras sus predicciones se cumplen.
El problema, además, no se refiere sólo a las "teorías científicas", sino a CUALQUIER CONOCIMIENTO QUE OBTENEMOS POR LA EXPERIENCIA: ¿cómo "sabes" que al libro que tienes delante, pero cerrado, no se le han borrado todas las páginas desde la última vez que lo abriste?, ¿cómo "sabes" que el mundo no ha empezado a existir hace cinco minutos?, ¿cómo "sabes" que Nueva York está en América?... Pues porque, en la vida diaria (no en la filosofía cartesiana) llamamos "conocimiento" a ese sistema de proposiciones que aparentemente "se sostiene en pie" (sin saber dónde se apoya).
.
.
Y con respecto a la última cuestión, lo que olvidáis los que soñáis con una teoría física "final" que pueda ACEPTARSE usando sólo la matemática (y no la experiencia) es que las RESTRICCIONES a las estructuras matemáticas que se pueden considerar están dadas por la experiencia (p.ej., Einstein "infirió" la relatividad pensando en las incoherencias entre la mecánica y la electrodinámica... pero esas incoherencias eran relevantes PORQUE las ecuaciones de ambas teorías se ajustaban bastante bien a la experiencia en la mayoría de los casos; si los físicos no hubieran sabido NADA de cómo se mueven EMPÍRICAMENTE las cosas cuando se acercan unas a otras, no habría habido forma de encontrar las ecuaciones de la teoría de la relatividad).
.
Un ejemplo más: imagínate un universo unidimensional, y piensa en la TEORÍA MATEMÁTICA que describe los números enteros, y en la que describe los números reales. Ambas son ABSOLUTAMENTE CIERTAS (cada una describe con exactitud las propiedades de su "objeto" -bueno, salvo el pequeño detalle de Gödel, pero obviémoslo-). Ahora bien, lo que importa en la FÍSICA (no en las matemáticas) es si UN DETERMINADO SISTEMA EMPÍRICO (más o menos "pequeño", o el "universo" en su conjunto, da igual) es ISOMORFO con un sistema matemático o con otro. Las matemáticas nos describen cojonudamente AMBOS sistemas matemáticos; pero no podemos tener ARGUMENTOS PURAMENTE MATEMÁTICOS para determinar si el universo se describe mejor con la serie de los números enteros o con la de los números reales.

.

.

Más:

.

(Sobre Neurath y su barco).

.

El positivismo es un humanismo.

.

Ciencia empírica y metafísica.

.

Las dudas de la física en el siglo XXI.

.

Abajo el materialismo, viva el naturalismo.

.

Relatividad deformada.

.

¿Puede haber más de un tiempo?

.

El primer teorema de la ciencia.

.

Los viajes en el tiempo serán aburridos.

.

Platonismo matemático y religión.

.

El Uno.

.

Quanticum quanticorum.

.

LA PARADOJA DE BERRY

Cualquier expresión que utilicemos para referirnos a algo tendrá un número finito de palabras. Esto incluye los números: construimos palabras arbitrariamente largas para referirnos a números como el "cuatrocientos veintisiete mil doscientos catorce" (427.214), un número al que podemos referirnos utilizando la expresión entrecomillada, que tiene sólo 5 palabras.

.

Ahora bien, puesto que hay un número finito de palabras en castellano, habrá un máximo número de expresiones que podamos formar que contengan, p.ej., catorce palabras o menos. Sea N ese número. N (el número de sintagmas nominales que podemos formar en castellano con menos 15 palabras) es un número casi inimaginablemente elevado, pero finito, como todos los naturales. De esas N expresiones, sólo un número mucho más pequeño de ellas, sea M, corresponde a expresiones que en castellano se pueden usan correctamente para designar números (desde "cuarenta y dos" hasta "el número de los apóstoles"), y, puesto que varias de esas expresiones representarán al mismo número, resulta que habrá un número todavía más pequeño, Ñ, que indica la cantidad de números naturales para los que en castellano tenemos alguna expresión correcta que permite designarlos con menos de quince palabras. Llamemos también Ñ al conjunto de esos números, aquellos para los que el castellano tiene alguna forma de designarlos usando menos de quince palabras. Todos los números naturales que no pertenecen a Ñ poseen una característica en común: en castellano correcto, sólo podemos referirnos a ellos usando más de 15 palabras. Ahora bien, dado que Ñ es un conjunto de números naturales, habrá alguno de ellos que sea el más pequeño de todos, a saber, el único número que satisface la siguiente propiedad:

.

n= El menor número natural al que no podemos referirnos usando menos de quince palabras.

.

¡¡¡Pero esa expresión contiene CATORCE palabras!!!

.

Es decir, la conclusión es que podemos referirnos con catorce palabras al menor número natural al que no podemos referirnos usando menos de quince palabras.

¿ES LA BELLEZA UNA PROPIEDAD MATEMÁTICA?

De unos comentarios míos en el siempre jugoso blog Dialéctica y Analogía, esta vez sobre los fundamentos de la estética.
.
UNO.
.
Incluso asumiendo que la belleza es una propiedad de las entidades matemáticas, creo que es sensato admitir que es una propiedad MUY DIFERENTE DE AQUELLAS DE LA QUE SE OCUPAN LOS MATEMÁTICOS. Al fin y al cabo, que una teoría sea completa, o que sea consistente, o que un conjunto sea transfinito, o que un número sea transcendente, etc., etc., son propiedades de esas entidades, Y LOS MATEMÁTICOS SE ESFUERZAN POR ELABORAR PRUEBAS que demuestran que esas entidades las tienen o no las tienen. Pero no hay demostraciones matemáticas de que tal objeto matemático tiene la propiedad matemática de "ser más bello que tal otro objeto". Ahora bien, si la belleza fuera una propiedad matemática (o sea, abstracta, formal) EN EL MISMO SENTIDOEXACTAMENTE en que son propiedades formales las de ser "completo", "consistente", "transfinito", etc., pues lo lógico sería que fuera objeto de demostración EXPLÍCITA de la misma exactamenteque se demuestra si un conjunto es transfinito o una teoría es incompleta.
.
Luego, probablemente, la belleza, INCLUSO COMO PROPIEDAD MATEMÁTICA, es una propiedad bastante distinta de lo que entendemos normalmente (en las matemáticas) por "propiedad matemática".
.
.
DOS.
.
En los modelos sobre virtudes científicas que llevo elaborando muchos años, he llegado a la conclusión de que estas virtudes son básicamente dos: 1. la cantidad de información empíricamente confirmada que puede derivarse de una teoría (hipótesis, ley, modelo, etc.), y 2. la minimización del coste cognitivo que conlleva la aceptación de esa teoría (p.ej., lo fácil que resulta manejarla, y también lo que el hecho de aceptarla nos facilita el manejo de otros items de información); a este segundo punto le he llamado (en artículos con Xavier Donato) "enlightening" y "ergonomía cognitiva".
Pues bien, este rollo viene a cuento de que se me ocurre la conjetura (seguro que nada original) de que la "belleza" podría entenderse como la tendencia de los sistemas cognitivos a preferir representaciones con una proporción óptima entre cantidad de información y ergonomía cognitiva; aquellos objetos, situaciones, etc., que alcanzaran un máximo relativo de esta proporción tenderían a ser preferidos por los organismos en igualdad de otras condiciones(o sea, ceteris paribus; mejor una comida fea y nutritiva que otra bonita y venenosa, vaya). Esto permitiría explicar tanto la relativa homogeneidad de los "criterios básicos" de belleza, como su diferenciación contextual que tanto le gusta a J.A., pero todo ello sin necesidad de asumir que esa combinación particular de información+simplicidad que tanto les gusta a los bichos de toda laya sea en especial una propiedad abstracta "más profunda", una especie de "belleza intrínseca y en sí". Sencillamente, los bichos que evolucionan con un sistema cognitivo tendrían la tendencia a preferirlo así para que su procesamiento de la información sea lo más eficiente posible, igual que también evolucionan de forma que tienden a hacer el uso más eficiente posible de la energía.
.
.
TRES
.
Creo que no he insistido lo suficiente en que la importancia que tiene para esta discusión el que la "belleza" no sea UNA propiedad, sino una COMBINACIÓN de PROPIEDADES-GENERALMENTE-CONTRARIAS (en el sentido de que, estadísticamente, las cosas que tienen más de una de esas propiedades, tienden a tener menos de la otra o las otras).
.
Pongamos que las dos propiedades son "información" (I) y simplicidad (S), y que ambas cosas se pudieran medir (lo que no es así en muchos casos, de manera objetiva, quiero decir: se pueden medir, pero según muchos criterios DIFERENTES, y no hay un meta-criterio que diga cuál de los criterios es el necesariamente adecuado). La cuestión es que un objeto X vendría caracterizado por un vector (Ix, Sx); si otro objeto y es de tal manera que Iy es mayor que Ix y Sy es mayor que Sy, y será considerado más bello por cualquier sistema cognitivo (insisto, eso depende de la hipótesis INSUSTANCIADA de que es posible dar una medida objetiva de I y de S). Pero la mayoría de los objetos son tales que Ix es mayor que Iy mientras que Sy es mayor que Sx. ¿Es x más bello que y, o y más bello que x? Pues eso dependerá que QUÉ PONDERACIÓN den a I y a S cada sistema cognitivo: sistemas para los que I sea más importante que S, considerarán más bello x, pero sistemas para los que S sea más importante, considerarán más bello y. Entonces, ¿es y más bello que x "en sí mismo"? La propia DEFINICIÓN de belleza que estoy proponiendo muestra que, EN ESTOS CASOS, la pregunta no tiene sentido.
.

.
.

SI-ENTONCES-ISMO Y EXISTENCIA MATEMÁTICA

Existe una forma de permanecer escéptico sobre la existencia de muchas entidades matemáticas (p.ej., los números). Es lo que se conoce como "si-entonces-ismo", formulado por primera vez por Bertrand Russell. La idea es que los teoremas matemáticos, las VERDADES matemáticas, no afirman la existencia de ninguna entidad, sino que son enunciados condicionales. P.ej., la aritmética no afirma que EXISTE el número 7, o que existe un número natural mayor que 6 y menor que 8 (como he afirmado yo en varias discusiones recientes), sino que se limita a demostrar enunciados condicionales del tipo siguiente:

.

SI existiese una estructura que satisficiera los axiomas de la aritmética, ENTONCES en esa estructura existiría un elemento que tendría las propiedades tal y cual (y aquí, substituir por las que se piense que satisface el 7)".

.

Es decir, para aceptar los teoremas matemáticos no necesitamos suponer que de hecho existen las estructuras de las que se habla en ellos; sólo decimos que ES VERDAD que, si existieran, y cumplieran tales axiomas, también cumplirían tales y cuales propiedades (las que dicen los teoremas).

.

El si-entonces-ismo es una forma, por lo tanto, de aceptar la objetividad de las VERDADES matemáticas, sin comprometerse con la existencia de las ENTIDADES matemáticas.

.

PREGUNTA PARA ESTADÍSTICOS

¿Cuál es la probabilidad de acertar esta pregunta eligiendo una respuesta al azar de entre las cuatro siguientes?

.

A: 25 %

.

B: 50 %

.

C: 0 %

.

D: 25 %.

.

.

.

¿Y cuál sería la probabilidad de acertar si la respuesta no se eligiera al azar?

.

.

.

(Vía José A. Díez.).

EL CUENTO DE LA CONJETURA DE GOLDBACH

Teodoro Fregenal, director del soriano Instituto de Matemáticas Avanzadas del Alto Duero, se fue de vacaciones más contento que unas castañuelas (descripción ciertamente muy vacía, pues las castañuelas, por regla general, carecen de estados de ánimo), ya que por fin iba a estar tres semanas tirado en la playa, sin tener que atender a las constantes murmuraciones con las que el grupo del Burgo de Osma y el grupo de Almazán se atacaban continuamente el uno al otro, por supuesto sin dirigirse nunca la palabra de forma directa, sino siempre a través de su pobre director.

.

Cuando Teodoro llevaba una semana de vacaciones, su secretaria recibió un sobre de Ludovico Pérez, de los de Osma, dirigido al director, con unas hojas dentro; las sacó y las dejó encima de la mesa. Era -aunque la secretaria, que no entendía de matemáticas ni una jota (y mira que las jotas son fáciles de entender, por lo menos en matemáticas; ¡si dijeras la épsilon!)- la demostración de un teorema según el cual la conjetura de Goldbach se podía derivar a partir de un cierto principio, al que llamaremos X (el propio Ludovico lo llamaba "conjetura-LP", por razones que se me escapan). El escrito se acompañaba de una carta en la que los miembros del conventillo de Burgo de Osma declaraban haber chequeado la prueba y comprobado que era correcta en todos sus pasos.

.

Una semana más tarde, llegó al correo un nuevo sobre, esta vez remitido por Jacobo Bermúdez, del grupo de Almazán, cuyo contenido -unas pocas hojas impresas- sufrió el mismo procedimiento que el de Pérez: ser extraído del sobre y depositado sobre la mesa de Teodoro Fregenal, o más exactamente, encimita mismo de las hojas enviadas por Ludovico. En el nuevo escrito, Jacobo demostraba, a partir de los axiomas de Peano para la aritmética, un cierto teorema, que él llamaba "teorema-JB", seguro que por inconfesables razones etílicas, pero que casualmente coincidía hasta la última coma con la "conjetura-LP", o sea, nuestro "principio X". De modo parecido al trabajo de su insoportable colega burgense, los miembros del grupo adnamantino certificaban en una carta adjunta que la demostración de Jacobo era en todo correcta.

.

A la vuelta de sus vacaciones, Teodoro vio los papeles encima de la mesa, los cogió todos juntos, y los metió en su cartera para leerlos en mejor ocasión. "¡Otra reyerta entre esta panda de algebraicas acémilas!", pensó para sí. Tuvo la desgracia, según se mire, de que la cartera se la dejó al lado de la barra de un bar al que pasó a tomarse unos chiquitos camino de su casa, y un golfillo que la vio abandonada la cogió y se la llevó a un lugar apartado de la vista de todos, en el parque al lado del río que traza su curva de ballesta; tomó lo poco que creía de valor, ojeó con gesto de incomprensión los papeles, y los tiró al río, en cuyas aguas y remolinos se fueron hundiendo poco a poco.

.

Al día siguiente del percance ocurrió la famosa catástrofe matemática del Alto Duero, en la que los dos grupos, el del Burgo y el de Almazán, cada uno viajando como siempre en un autocar distinto, y siguiendo ambos el coche de Teodoro camino de las ruinas de Numancia, en donde iban a tener una reunión conjunta, se fueron picando el uno al otro por la carretera que bordeaba un barranco del Duero, con tan mala fortuna que ambos autocares chocaron y cayeron al río, muriendo ahogados todos sus ocupantes, sin que Teodoro hubiera vuelto a preocuparse por los papeles perdidos o a mencionárselos a sus colegas.

.

La pregunta es: ¿tuvieron Teodoro y el golfillo en sus manos una demostración de la conjetura de Goldbach?

.

Más:

¿Existen las obras que Mozart no escribió?

CONJUNTOS ARBITRARIOS

Ayer estuve en una charla de Pepe Ferreirós, especialista en historia y filosofía de la matemática, sobre la noción de "conjunto arbitrario", y fue de lo más interesante.

.

Un conjunto es no-arbitrario cuando puede definirse mediante una fórmula o predicado, es decir, mediante un enunciado con una variable no ligada por ningún cuantificador ("el conjunto de todos los x tales que Fx", donde "Fx" es, p.ej., "x es un número primo"). Un conjunto arbitrario es, por lo tanto, un conjunto que NO puede ser definido mediante ninguna fórmula. Fijémonos, para mayor claridad, en los conjuntos formados por números naturales (es decir, si N es el conjunto de todos los números naturales, hablamos de los subconjuntos de N).

.

¿Qué subconjuntos de N son arbitrarios? La respuesta es que casi todos:

.

Como sabéis, llamando "A0" ("aleph-sub-cero", pero no voy a ponerme a buscar el símbolo "aleph") a la "cantidad" de números naturales (la "cardinalidad" de N), hay 2^A0 (dos elevado a A0) subconjuntos de N, cantidad que, curiosamente, es igual a la "cantidad" de números reales, o la cardinalidad del conjunto R (bueno, no tan curioso, como veremos en un momento), y 2^A0 es necesariamente mayor que A0. Un problema abierto de la teoría de conjuntos es si hay algún conjunto que sea mayor que N pero menor que R; que NO lo hay, es decir, que TODOS los subconjuntos de R tienen, o bien el mismo tamaño que N (son "infinitamente contables"), o bien el mismo tamaño que R (es decir, que 2^A0= A1) es la famosa "hipótesis del continuo".

.

Pero, por otro lado, hay SÓLO "infinitamente contables" fórmulas construibles con un lenguaje finito, y por lo tanto, la cantidad de conjuntos no-arbitrarios (o sea, los definibles mediante esas fórmulas) es A0.

.

Así pues, si N tiene 2^A0 subconjuntos, pero SÓLO A0 de esos conjuntos son definibles, resulta que hay 2^A0 - A0 (igual, naturalmente, a 2^A0) subconjuntos arbitrarios de números naturales.

.

¿Cómo "identificar", o al menos, cómo "concebir" o "referirnos a" un subconjunto arbitrario de números naturales? Ferreirós mostró en su charla un procedimiento muy intuitivo. Imaginemos que representamos (como se hace normalmente) cada número real mediante un número decimal infinitamente largo; para simplificar, podemos pensar en los números reales comprendidos entre 0 y 1, todos los cuales tienen la forma 0,abcdefg..., donde cada letra es un dígito. Para simplificar más aún, supongamos que estamos escribiendo los números en notación binaria, de modo que los dígitos sólo pueden ser ceros o unos. Tenemos, por tanto, todos los números reales comprendidos entre 0,00000.... (que es 0) y 0,1111111...... (que es igual a 1). Los dígitos de la expansión decimal de uno de estos números (lo que va después de la coma) están ORDENADOS, es decir, podemos hablar del PRIMER decimal, el SEGUNDO decimal, el decimal TRICENTÉSIMO OCTOGÉSIMO CUARTO, etc., etc., etc.

.

Pues bien, sea r un número cualquiera de esos (0,01001010001...), y consideremos un conjunto C definido de la manera siguiente a partir de r:

.

C(r) es el conjunto de todos los números naturales n tales que n pertenece a C(r) si y sólo si el n-simo decimal de r es un 1.

.

(En el ejemplo, C(r) contendrá el 2, el 5, el 7, el 11, y los números correspondientes a los demás LUGARES de la expresión decimal de r en los que halla un 1 en vez de un 0).

.

Es fácil darse cuenta de que, puesto que entre 0 y 1 están TODAS las expresiones decimales POSIBLES (pues luego se repiten las mismas entre 1 y 2, entre 2 y 3, etc.), este procedimiento nos permite definir TODOS los subconjuntos de N.

.

Ahora bien, ¿no es esto una paradoja? ¿No hemos definido así TODOS los subconjuntos de N, cuando habíamos dicho que la mayoría de ellos eran arbitrarios, o sea, indefinibles? Pues no: en realidad, la expresión en negrita NO es, por sí mismas, una DEFINICIÓN del conjunto C(r), pues para que lo sea, TODOS los elementos de la definición tienen que ser definibles mediante alguna fórmula, y no hay nada que garantice que el número r sea "definible" mediante una fórmula. P.ej., todos los números racionales son definibles (basta con decir cuál es la fracción a la que son iguales), y muchos (pero "sólo" infinitamente contables) de los irracionales son definibles (p.ej., muchos que son igual a la raíz cuadrada de un número natural, si ésta no es un número natural; p.ej., raiz de 2, raiz de 10, etc.), así como muchos números que son soluciones de ecuaciones. Pero SÓLO hay A0 números irracionales definibles así. La inmensísima mayoría de los números REALES no son definibles, es decir, no podemos dar una FÓRMULA con la que identificarlos, y por lo tanto,el conjunto C(r) (el conjunto de números naturales n tales que el n-simo decimal de r es un 1) no está, en realidad, DEFINIDO.

.

Dicho de otra manera: prácticamente TODOS los números reales no podemos DECIR cuáles son (sólo podríamos decirlo ESCRIBIENDO su serie completa de decimales). Y eso mismo implica que prácticamente TODOS los subconjuntos de números naturales no podemos decir cuáles son.

.

La pregunta obvia es, ¿EXISTEN esos números, y esos subconjuntos? Hay quienes dicen que no, que sólo existe en matemáticas aquello que se puede DEFINIR, y han mostrado que otras ramas de la matemática que habitualmente se fundamentan en la teoría de conjuntos pueden explicarse sin suponer la existencia de esas entidades. La mayoría de los matemáticos piensan que sí, que la existencia de esos números y conjuntos es algo incluso "obvio". Pero en la charla de Ferreirós quedó claro que no hay argumentos convincentes para ninguna de las dos posiciones (y no sólo tienen por qué ser esas dos).

.

SAN GABRIEL MATEMÁTICO

Cuentan que, en los prolongadísimos eones previos a la creación del mundo, el arcángel Gabriel, que por entonces no podía entretenerse abusando de chicas adolescentes por el facebook, ni calentar la cabeza de exaltados caravaneros, a falta de un entretenimiento mejor se dedicó a estudiar matemáticas, ciencia para la que descubrió que tenía un talento natural, por el que agradeció debidamente a su creador (que le mandó de nuevo a freir espárragos, por plasta).

.

El corpus de conocimientos matemáticos alcanzado por nuestros pitagorines y gaussetes es una mierda pinchada en un palo, en comparación con la cantidad de teorías matemáticas que el bueno de Gabriel consiguió aprender. Con decir que era capaz de demostrar el teorema de Fermat en tres páginas (o su equivalente celestial), podéis haceros una idea.

.

Un buen día, el Mandamás hizo llamar a Gabriel, y le dijo:

.

-Oye, Gabi. Me s'ha ocurrío que, en vez de pasarnos to la eternidá que nos queda tocándonos los cojones (como llevamos haciendo la parte que llevamos ya de la eternidá... menos tú, que te ha dao por la gilipollez esa de las matemáticas, que no sé qué gracia le verás...), pues vi'a hacer algo nuevo.

.

-¿El qué, Jefe?

.

-Voy a crear un mundo.

.

-¡Un mundo! Toma ya, cómo mola. ¿Y eso qué es?

.

-Joder, Gabi, tan listo que eres pa'algunas cosas y tan tonto pa'otras. ¿Pues qué va a ser un mundo? Una cosa la hostia de grande, con sus monstruos marinos, sus estrellitas, sus terremotos, sus multinacionales... Joder, un mundo, macho, un mundo.

.

-Es que a mí me sacan de las matemáticas...

.

-Bueno, pues eso, que voy a crear un mundo.

.

-"Un muuuunnnndoooo". Suena bien, Jefe. ¿Y qué puedo hacer yo por usted y su mundo?

.

-Pues mira, Gabi, que te voy a poner una adivinanza. Tú que sabes tantas matemáticas (aunque yo sé más que tú, como te podrás imaginar...)

.

-No me cabe duda, Jefe.

.

-Pero, en fin, ya que sabes tantas mates... ¿Podrías utilizar tus conocimientos para PREDECIR cómo va a ser el mundo que voy a construir?

.

-¡Hostia, Jefe! Eso es muy complicao.

.

-Es sólo para ver si te ha valido de algo el tiempo que has gastao estudiando las chorradas esas. A ver, inténtalo.

.

-Bueno, porque me lo dice usted. Venga, déjeme que piense un rato...

.

Al cabo de varios millones de años, Dios pegó una voz de las suyas, que retumbó en el vacío infinito como un truenoenoenoenoeno...

.

-Venga, ottia, Gabi, que es pa'hoy. No tenemos to la eternidá.

.

-Vale, vale, es que es complicado, Jefe; y como antes sí que decía que teníamos toda la eternidad...

.

-Pues ya no, que tengo que crear un mundo.

.

-Joder, ¡un muuuundo! Qué bien suena eso, Jefe.

.

-Deja de hacerme la pelota.

.

-¿Y no podía darme una pista pequeñita, eh, jefe? ¡Que usted es benevolente, andeeee!

.

-¡Nada, so listo! Vi'a hacer un mundo y quiero saber si to lo que has estudiao de matemáticas te sirve para saber ALGO sobre ese mundo.

.

-Bueno, Jefe, pues yo creo que sí, que algo puedo decirle.

.

-¡No jodas, Gabi! Yo estaba convencido de que no.

.

-Pues ya ve. Si es que las matemáticas son la ottia, que diría usted, Jefe.

.

-Venga, pues hala, sorpréndeme. ¿Cómo va a ser el mundo que vi'a crear!

.

-Pues le puedo decir que el mundo que va a crear usted, va a tener.... va a tener...

-

-¿Lo cualo? Venga, desembucha, que a mi no me gusta la tensión dramática.

.

-Pues tenía que probar, Jefe.

.

-Ya probaré. Ahora, responde.

.

-Pues el mundo que va a crear usted va a tener ¡una estructura matemática!

.

-¡Ottia! ¡Y te creerás mu listo!

.

-¿A que sí?

.

-¿Pero qué quieres decir con eso? ¿No me puedes decir CUÁLA estructura matemática va a tener?

.

-Ah, eso no, Jefe. Usted tiene un poder infinito, puede elegir la estructura matemática que le salga de los coj..., perdón, que le salga de sus potencias. ¿Cómo voy a saber yo ahora cuál va a ser? A lo mejor le da por crear un mundo basado en los números naturales, o un mundo que tenga un espacio euclideo, o un mundo de variables continuas, ¡yo qué sé! Pero lo que cae por su propio peso es que ALGUNA estructura matemática va a tener el mundo ése.

.

-¿Y eso qué quiere decir esaztamente?

.

-Pues eso, que el mundo va a tener una estructura matemática. Uséase, una estructura a secas, si lo quiere más claro. Que algunas propiedades tendrá, y otras no.

.

-Si es que no eres más tonto porque no te entrenas, Gabi. Anda, deja las matemáticas y vete estudiando un poco de declamación e interpretación, que te tengo pensao unos cuantos recaos.

.

-Lo que usted diga, Jefe. ¿Le pido el libro al bibliotecario de Babel?

.

-A ese mismo.

.

EL RAYO BAYESIANO

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
¿Cuál es la probabilidad de que este año suba el Rayo a primera?
.
¿Cuál es la probabilidad de que sus jugadores cobren todo lo que se les adeuda?
.
O, más en general, ¿cómo calcular la probabilidad de un ACONTENCIMIENTO SINGULAR? (O sea, ¿por qué la probabilidad de que un determinado hecho suceda en un determinado momento tiene que depender -y cómo depende- de la frecuencia con la que ocurren hechos de su "misma clase"?)

.

Es, sin duda, de las preguntas más chungas que conozco.

.

LA PERSPICACIA DE WITTGENSTEIN

Tractatus logico-philosophicus, 6.1251:

"Por lo tanto, en lógica jamás puede haber sorpresas"

(Darum kann es in der Logik auch nie Überraschungen geben)

(cursivas en el original)

.

Por no hacer mucha leña del árbol caído, no hablaremos del teorema de incompletud de Gödel, o de la prueba por Paul Cohen de que hay modelos de la teoría de conjuntos que no cumplen la hipótesis del continuo. Mencionaré sólo que, más o menos a la vez que el bueno de Ludwig escribía esto, se demostraba el teorema de Löwenheim-Skolem. Este teoremilla dice algo curioso, aunque aparentemente inofensivo: si un enunciado tiene un modelo de cardinalidad infinita K, entonces también tiene modelos de cardinalidad infinita K' y K'', para toda cardinalidad K' menor que K y K'' mayor que K.

.

Lo grave es que este enunciado parece llevar a una paradoja: consideremos el enunciado E que consiste en una axiomatización de las propiedades de los números reales; sabemos que de ese enunciado se puede inferir la conclusión de que hay más números reales que naturales, es decir, que la cardinalidad K del conjunto de los números reales es estrictamente mayor que la cardinalidad del conjunto de los números naturales (al que diga "¡pues vaya bobada!", se le debe recordar que el conjunto de los números racionales tiene, en cambio, exactamente la misma cardinalidad -el mismo número de elementos- que el conjunto de los números naturales, y por tanto, hay menos números racionales que reales, ¡¡¡pese a que entre cada dos números reales hay infinitos números racionales!!!).

.

Ahora bien, por el teorema de Löwenheim-Skolem, ¡¡¡el enunciado E tiene un modelo de la misma cardinalidad que el conjunto de los números naturales!!!., es decir, un modelo "infinitamente contable"). Es decir, los símbolos que forman ese enunciado (a partir del cual se puede demostrar que hay MÁS QUE INFINITAMENTE CONTABLES números reales), PUEDEN INTERPRETARSE TAMBIÉN como la descripción de un modelo que tiene el mismo número de elementos que el conjunto de los números naturales.

.

¡Joder, para no haber sorpresas, ésta era de las gordas!

.

PS: Algún listillo ya habrá pensado "es que Wittgenstein está hablando de la lógica, no de las matemáticas". A eso el mismo Luisito responde un poco más abajo (6.2): "La matemática es un método lógico").

.

DE NUEVO MOZART, PARA QUE VEAS

.

He descubierto estos magníficos vídeos en El Tamiz, y no he resistido la tentación de poneros uno. Me sirve, además, para dar una nueva vuelta a tuerca al argumento sobre si existen las obras que Mozart HABRÍA compuesto de haber seguido vivo y saludable más allá de 1791 (si existen, digo, como objetos matemáticos, o sea, como combinaciones lógicas POSIBLES de símbolos, en este caso, símbolos que representan sonidos).

.

El argumento es el siguiente: pensad en la COMBINACIÓN DE SÍMBOLOS que representa este vídeo. Es sencillamente una indicación de qué nota suena en cada momento, en un período de 7 minutos y 58 segundos. Es también una determinada combinación de ceros y unos en un CD (p.ej.). Si ahora mismo destruyéramos todas las partituras de la sinfonía 40 y todas sus grabaciones, ESA combinación de símbolos seguiría representando la misma música, es decir, seguiría siendo verdad la proposición que dice que "si grabáramos un CD con ESA combinación de ceros y unos, y lo pusiéramos en un tocadiscos, sonaría la obra que ahora mismo llamamos sinfonía 40".

.

Pues bien, imaginad que Mozart hubiese muerto en 1785. Evidentemente, en ese caso no habría compuesto la sinfonía 40 (para desgracia nuestra). Ahora bien, la COMBINACIÓN de ceros y unos del CD, o de tiempos y colores del vídeo, a la que me he referido en el párrafo anterior, SÍ que existiría (nadie sabría cuál es, eso sí, pero como COMBINACIÓN POSIBLE de ceros y unos en un CD, no veo por qué no va a existir: si preguntamos "¿CUÁNTAS combinaciones posibles de ceros y unos se pueden hacer en un CD de tal manaño?", sólo algunos mentecaptos abducidos por teorías filosóficas sin fundamento dirían que "sólo se PUEDEN hacer las combinaciones que SE HAN HECHO HASTA AHORA"; la única respuesta razonable es que se pueden hacer 2 elevado a n, donde n es el número de posiciones que caben en el CD).

.

Entonces, si la suposición de que Mozart hubiera muerto en 1785 y no hubiera compuesto la sinfonía 40, no implica la inexistencia de una combinación de ceros y unos que trasladada a un CD de los nuestros hiciera sonar la música que NOSOTROS llamamos "sinfonía 40", no veo por qué el hecho de que Mozart haya muerto en 1791 va a implicar que no existen combinaciones de ceros y unos (o de notas en una partitura) que, llevadas al tocadiscos o a la orquesta, dieran como resultado una música que EN ALGUNA DE ESAS OTRAS HISTORIAS, la gente habría identificado como las obras de mozart posterores a 1791.

.

MOZART RESURRECTUS

¿Existen (en el sentido de objetos matemáticos) las obras que Mozart HABRÍA compuesto entre 1792 y 1830 si hubiera seguido vivo, sano, activo e igual de creativo hasta esa última fecha?

.

Saqué el tema hace algún tiempo aquí, pero ahora se ha avivado muchísimo la discusión gracias al ejercicio de espiritismo efectuado por Héctor en su blog "La Biblioteca de Babel", en donde os animo que entréis para participar en la discusión (mejor que en esta entrada).

.

¿ES LA MATEMÁTICA UNA CIENCIA EMPÍRICA?

La matemática "estándar" admite dos tipos de reglas de inferencia, llamémoslas A y B. El intuicionismo sólo admite A, por lo tanto, todos los teoremas demostrados con ayuda de B, no son teoremas demostrados, para los intuicionistas (B es básicamente el principio de tercio excluso, y algunos otros detalles más; A son todas las demás reglas de inferencia comunes).
Así pues, el conjunto de teoremas admitidos por los intuicionistas es un subconjunto de los admitidos por los matemáticos "normales".
Los intuicionistas dicen que, como B no es aceptable ("kosher"), los teoremas demostrados con su ayuda PUEDE QUE NO SEAN VERDADEROS. Que un teorema no sea verdadero significa que tiene contraejemplos (al menos, cuando es del tipo "todos los x que son tal, son cual").
Pues bien, hay un argumento muy sencillo que me convencería de la validez del intuicionismo: mostrar que algún teorema demostrado mediante el uso de B es falso, o sea, mostrar un contraejemplo de un tal teorema. Que yo sepa, nadie ha encontrado nunca un contraejemplo así, o sea, nadie ha demostrado que un teorema no-kosher ("no aceptable como teorema por los intuicionistas") era un teorema EQUIVOCADO.
Naturalmente, esto es un argumento INDUCTIVO ("cuasi-empírico", digamos) a favor de la aceptabilidad de B; pero, obviamente, los motivos para aceptar B (repito, sobre todo la ley de tercio excluso: "A o no-A") no son SÓLO que hasta ahora todos los teoremas demostrados con su ayuda no han tenido contraejemplos (por supuesto, teniendo en cuenta la tasa de error normal de todo cálculo matemático, sea hecho por intuicionistas o por burgaleses), sino también que a la mayoría de los lógicos y los matemáticos el principio de tercio excluso les parece TAN OBVIO Y ACEPTABLE como los otros principios lógicos que los intuicionistas SÍ aceptan (el principio de no contradicción, el modus ponens, etc.).
.
.
(Viene de aquí).

.

LA CONJETURA DE GOLDBACH Y EL TEOREMA DE GÖDEL

La conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor que dos es la suma de dos primos. Esta conjetura no ha sido demostrada, y tampoco se ha demostrado que sea falsa.

.

Como se ha señalado a veces, es posible que la conjetura sea indemostrable (ya que Gödel demostró que necesariamente existen proposiciones indemostrables ("indecidibles") en la aritmética, y en principio, nada parece impedir que la conjetura de Goldbach fuese una de ellas).

.

Pero supongamos que la conjetura es, de hecho, falsa, o sea que hay algún número par, N, que no es la suma de ningún par de primos menores que N. Puesto que N es un número finito, si la conjetura fuese falsa, sería POSIBLE llegar contando hasta ese número, comprobar para cada par de primos menores que N si su suma es igual o no a N, y DEMOSTRAR, por lo tanto, que N viola la conjetura, y que la conjetura es falsa.

.

Por lo tanto, SI la conjetura es falsa, entonces existe una demostración matemática finita de que es falsa. Pero, si la conjetura es indecidible, entonces no puede haber ni una demostración de que es verdadera, ni una demostración de que es falsa. Así que, si se demostrase que la conjetura es indecidible, entonces sería verdadera, lo que sería una contradicción (pues habríamos demostrado que no se puede demostrar que es verdadera, y que ES verdadera).

.

¿Hemos encontrado una paradoja?

.

Tranquilos. Nada de eso. Lo único que se sigue de aquí es que, si la conjetura de Goldbach es indecidible, entonces no se puede demostrar que es indecidible.

HASTA DONDE ALCANZA LA VISTA

Voy a proponer hoy un pasatiempos, en este día que algunos (sobre todo los docentes y estudiantes) tendréis aún para hacer frotamientos abdominales o gonádicos, a ver si os tengo un rato entretenidos.

.

Viene a cuento de la inauguración de la torre más alta del mundo, en ca los emires (los pisos superiores dicen que tienen comunicación directa con el janah -paraíso musulmán-, y están atendidos por las mismísimas huríes). Dicen que mide 828 metros y que se ve desde 95 kilómetros de distancia (a mí me la tapan las torres del Madrid, que están justo en su dirección cuando me pongo a rezar hacia la Meca).

.

Pero, en fin, a lo que iba. Este acontecimiento me hizo estar pensando un rato el otro día, mientras decidía si levantarme de la cama o no, en la fórmula que relaciona la altura de una torre (o cualquier otra cosa en estado vertical) con la distancia a la que se la podría ver desde la superficie de la Tierra (suponiendo, claro está, que esa superficie fuese la de una esfera perfectamente lisa... salvo por la torre). O, lo que es lo mismo, hasta qué distancia como máximo podría prolongarse su sombra.

.

Ánimo.

.